8934. В шаре радиуса 9 через точку S
проведены три равные хорды AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
так, что AS=4
, A_{1}S=8
, BS\lt B_{1}S
, CS\lt C_{1}S
. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды SABC
.
Ответ. 7.
Решение. Произведения отрезков пересекающихся хорд равны, поэтому BS\cdot SB_{1}=AS\cdot SA_{1}=4\cdot8=32
. Кроме того, BB_{1}=AA_{1}=AS+SA_{1}=4+8=12
. Из системы
\syst{BS\cdot SB_{1}=32\\BS+SB_{1}=12\\}
и условия BS\lt B_{1}S
находим, что BS=4
и SB_{1}=8
. Аналогично, CS=4
и SC_{1}=8
.
Пусть A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
— основания перпендикуляров, опущенных из центра O
сферы на хорды AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
соответственно. Тогда точки A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
— середины этих хорд.
Заметим, что треугольная пирамида SABC
подобна треугольной пирамиде SA_{2}B_{2}C_{2}
, так как эти пирамиды гомотетичны с центром гомотетии S
и коэффициентом
k=-\frac{AS}{SA_{2}}=-\frac{AS}{AA_{2}-AS}=-\frac{4}{6-4}=-2.
Поэтому радиус R
сферы, описанной около пирамиды SABC
в два раза больше радиуса r
сферы, описанной около пирамиды SA_{2}B_{2}C_{2}
.
Отрезок OS
виден из точек A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
под прямым углом, значит, эти точки лежат на сфере с диаметром OS
, т. е. OS
— диаметр сферы, описанной около пирамиды SA_{2}B_{2}C_{2}
. Из прямоугольных треугольников AOA_{2}
и OSA_{2}
находим, что
OA_{2}^{2}=OA^{2}-AA_{2}^{2}=OA^{2}-\left(\frac{1}{2}AA_{1}\right)^{2}=9^{2}-6^{2}=45,
2r=OS=\sqrt{SA_{2}^{2}+OA_{2}^{2}}=\sqrt{4+45}=7.
Следовательно, R=2r=7
.