8951. Внутри прямоугольного параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
расположены два шара \omega_{1}
и \omega_{2}
, касающиеся друг друга внешним образом; кроме того, шар \omega_{1}
касается граней ABCD
, ABB_{1}A_{1}
, ADD_{1}A_{1}
, а шар \omega_{2}
касается граней A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, BCC_{1}B_{1}
, CDD_{1}C_{1}
. Известно, что AB=6-\sqrt{2}
, A_{1}D_{1}=6+\sqrt{2}
, CC_{1}=6
. Найдите расстояние между центрами шаров \omega_{1}
и \omega_{2}
. Найдите наименьший и наибольший суммарный объём шаров.
Ответ. d=4
, V_{\max}=\left(\frac{136}{3}-16\sqrt{2}\right)\pi
, V_{\min}=\frac{64\pi}{3}
.
Решение. Введём прямоугольную систему координат, направив ось Ox
по лучу AB
, ось Oy
— по лучу AD
, ось Oz
— по лучу AA_{1}
. Пусть O_{1}
— центр шара \omega_{1}
радиуса r_{1}
, а O_{2}
— центр шара \omega_{2}
радиуса r_{2}
. Будем считать, что r_{1}\leqslant r_{2}
. Поскольку шары вписаны в трёхгранные углы с вершинами A
и C_{1}
параллелепипеда, их центры имеют координаты O_{1}(r_{1};r_{1};r_{1})
и O_{2}(AB-r_{2};BC-r_{2};AA_{1}-r_{2})
.
Линия центров касающихся сфер проходит через их точку касания P
, поэтому O_{1}O_{2}=O_{1}P+O_{2}P=r_{1}+r_{2}
, или
\sqrt{(AB-r_{2}-r_{1})^{2}+(BC-r_{2}-r_{1})^{2}+(AA_{1}-r_{2}-r_{1})^{2}}=r_{1}+r_{2}.
Подставляя в это равенство AB=6-\sqrt{2}
, BC=6+\sqrt{2}
, AA_{1}=6
, получим уравнение
\sqrt{(6-\sqrt{2}-r_{2}-r_{1})^{2}+(6+\sqrt{2}-r_{2}-r_{1})^{2}+(6-r_{2}-r_{1})^{2}}=r_{1}+r_{2}.
Обозначим r_{1}+r_{2}=t
и перепишем это уравнение в виде
\sqrt{(6-\sqrt{2}-t)^{2}+(6+\sqrt{2}-t)^{2}+(6-t)^{2}}=t~\Leftrightarrow~(6-\sqrt{2}-t)^{2}+(6+\sqrt{2}-t)^{2}+(6-t)^{2}=t^{2}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~t^{2}-18t+56=0~\Leftrightarrow~\sovok{t=4\\t=14.\\}\eqno(1)
Оба шара расположены внутри параллелепипеда, поэтому
r_{1}\leqslant r_{2}\lt\frac{1}{2}\min(AB,BC,AA_{1})=\frac{1}{2}(6-\sqrt{2}).\eqno(2)
При выполнении условий (1) и (2) можно вписать шары радиусов r_{1}
и r_{2}
в трёхгранные углы при вершинах A
и C_{1}
, и все условия задачи будут выполняться. Поскольку t=r_{1}+r_{2}\leqslant2r_{2}\leqslant6-\sqrt{2}
, условию задачи удовлетворяет только t=4
.
Пусть V
— сумма объёмов шаров. Тогда
V=\frac{4}{3}\pi r_{1}^{3}+\frac{4}{3}\pi r_{2}^{3}=\frac{4}{3}\pi(r_{1}^{3}+r_{2}^{3})=\frac{\pi}{3}(r_{1}+r_{2})(4r_{1}^{2}-4r_{1}r_{2}+4r_{2}^{2})=
=\frac{\pi}{3}(r_{1}+r_{2})((r_{1}+r_{2})^{2}+3(r_{2}-r_{1})^{2})=\frac{\pi t}{3}(t^{2}+3(2r_{2}-t)^{2})\geqslant\frac{\pi t^{3}}{3}=\frac{64\pi}{3},
причём равенство достигается при r_{1}=r_{2}=2
. В то же время,
V=\frac{\pi t}{3}(t^{2}+3(2r_{2}-t)^{2})\leqslant\frac{\pi t}{3}(t^{2}+3(AB-t)^{2})=\frac{4\pi}{3}(4^{2}+3(2-\sqrt{2})^{2})=
=\left(\frac{136}{3}-16\sqrt{2}\right)\pi,
причём равенство достигается при r_{2}=\frac{1}{2}AB=3-\frac{1}{\sqrt{2}}
, r_{1}=t-r_{2}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}
.