8969. Ребро правильного тетраэдра ABCD
равно a
. На ребре AB
как на диаметре построена сфера. Найдите радиус шара, вписанного в трёхгранный угол тетраэдра с вершиной в точке A
и касающегося построенной сферы.
Ответ. \frac{\sqrt{6}\pm1}{8}a
.
Решение. Пусть O
— середина ребра AB
(диаметра данной сферы), Q
— центр шара радиуса r
, вписанного в указанный трёхгранный угол и касающегося данной сферы, P
— точка касания этого шара с плоскостью ABC
, H
— центр основания ABC
правильного тетраэдра ABCD
.
Заметим, что точка Q
лежит на продолжении высоты правильного тетраэдра, проведённой из вершины A
. Пусть \alpha
— угол, который образует высота правильного тетраэдра с его боковой гранью. Тогда
\sin\alpha=\frac{\frac{\sqrt{3}}{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{3},~\ctg\alpha=2\sqrt{2}.
Из прямоугольного треугольника APQ
находим, что
AP=PQ\ctg\angle PAQ=r\ctg\alpha=2r\sqrt{2}.
Тогда
HP=AP-AH=2r\sqrt{2}-\frac{a\sqrt{3}}{3}.
По теореме косинусов
OP^{2}=HO^{2}+HP^{2}-2HO\cdot HP\cos120^{\circ}=\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^{2}+\left(2r\sqrt{2}-\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^{2}+\frac{a\sqrt{3}}{6}\left(2r\sqrt{2}-\frac{a\sqrt{3}}{3}\right).
Если шар касается данной сферы внешним образом, то OQ=\frac{a}{2}+r
, а если внутренним, то OQ=\frac{a}{2}-r
. По теореме Пифагора OQ^{2}=OP^{2}+PQ^{2}
, или
\left(\frac{a}{2}\pm r\right)^{2}=\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^{2}+\left(2r\sqrt{2}-\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^{2}+\frac{a\sqrt{3}}{6}\left(2r\sqrt{2}-\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)+r^{2},
откуда r=\frac{\sqrt{6}\pm1}{8}a
.