8972. В правильную четырёхугольную пирамиду вписан куб так, что одно ребро куба лежит на средней линии основания пирамиды; вершины куба, не принадлежащие этому ребру, лежат на боковой поверхности пирамиды; центр куба лежит на высоте пирамиды. Найдите отношение объёма пирамиды к объёму куба.
Ответ. \frac{19\sqrt{2}-6}{6}
.
Решение. Пусть SABCD
— правильная четырёхугольная пирамида, M
и N
— середины сторон соответственно AB
и CD
основания ABCD
(рис. 1), E
и F
— вершины куба EFGHE_{1}F_{1}G_{1}H_{1}
, лежащие на отрезке MN
, G
и H
— вершины, лежащие в грани BSC
, E_{1}
и F_{1}
— в грани ASD
, вершина H_{1}
— в грани ASB
, вершина G_{1}
— в грани CSD
, O
— центр куба, ST
— высота пирамиды. Обозначим через a
сторону основания ABCD
пирамиды, через x
— ребро куба.
Поскольку центр O
куба лежит на высоте ST
пирамиды, точка T_{1}
, симметричная T
относительно O
, лежит на ребре G_{1}H_{1}
куба и делит его пополам. Рассмотрим сечение пирамиды и куба плоскостью MSN
(рис. 2). Получим равнобедренный треугольник MSN
и вписанный в него прямоугольник EFG_{1}H_{1}
, причём точки G_{1}
и H_{1}
лежат на боковых сторонах SN
и SM
соответственно и H_{1}G_{1}=x
, EH_{1}=FG_{1}=x\sqrt{2}
, MN=a
. Из подобия треугольников G_{1}SH_{1}
и NSM
следует, что \frac{ST_{1}}{ST}=\frac{G_{1}H_{1}}{MN}=\frac{x}{a}
.
Рассмотрим сечение пирамиды и куба плоскостью, проходящей через вершину S
и середины P
и Q
рёбер AD
и BC
соответственно (рис. 3). Получим равнобедренный треугольник PSQ
и вписанный в него квадрат TP_{1}T_{1}Q
, вершины P_{1}
и Q_{1}
которого лежат на боковых сторонах SP
и SQ
соответственно.
Тогда
\frac{x\sqrt{2}}{ST}=\frac{TT_{1}}{ST}=\frac{ST-ST_{1}}{ST}=1-\frac{ST_{1}}{ST}=1-\frac{x}{a}=\frac{a-x}{a},
откуда ST=\frac{ax\sqrt{2}}{a-x}
.
Заметим, что
\angle QTQ_{1}=90^{\circ}-\angle STQ_{1}=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}.
Запишем двумя способами площадь прямоугольного треугольника STQ
:
S_{\triangle STQ}=\frac{1}{2}TQ\cdot ST,~S_{\triangle STQ}=S_{\triangle STQ_{1}}+S_{\triangle QTQ_{1}}=
=\frac{1}{2}ST\cdot TQ_{1}\sin45^{\circ}+\frac{1}{2}TQ\cdot TQ_{1}\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{4}TQ_{1}(ST+TQ).
Из равенства \frac{1}{2}TQ\cdot ST=\frac{\sqrt{2}}{4}TQ_{1}(ST+TQ)
находим, что TQ_{1}=\frac{\sqrt{2}TQ\cdot ST}{TQ+ST}
, или
x=\frac{\sqrt{2}\cdot\frac{a}{2}\cdot\frac{ax\sqrt{2}}{a-x}}{\frac{a}{2}+\frac{ax\sqrt{2}}{a-x}}~\Leftrightarrow~1=\frac{2a}{2x\sqrt{2}+a-x}\Leftrightarrow~a=x(2\sqrt{2}-1).
Тогда
ST=\frac{ax\sqrt{2}}{a-x}=\frac{x^{2}\sqrt{2}\cdot(2\sqrt{2}-1)}{x(2\sqrt{2}-1)-x}=\frac{x\sqrt{2}(3+\sqrt{2})}{2},
V_{\mbox{пирамиды}}=\frac{1}{3}a^{2}\cdot ST=\frac{1}{3}\cdot x^{2}(2\sqrt{2}-1)^{2}\cdot\frac{x\sqrt{2}(3+\sqrt{2})}{2}=\frac{x^{3}(19\sqrt{2}-6)}{6}.
Следовательно,
\frac{V_{\mbox{пирамиды}}}{V_{\mbox{куба}}}=\frac{x^{3}(19\sqrt{2}-6)}{6x^{3}}=\frac{19\sqrt{2}-6}{6}.