8974. Внутри прямого кругового конуса расположен куб так, что одно ребро куба лежит на диаметре основания конуса, вершины куба, не принадлежащие этому ребру, лежат на боковой поверхности конуса, центр куба лежит на высоте конуса. Найдите отношение объёма конуса к объёму куба.
Ответ. \frac{\pi\sqrt{2}}{48}(53-7\sqrt{3})
.
Решение. Пусть центр O
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с ребром x
лежит на высоте SH
конуса с вершиной S
и радиусом основания R
, ребро AB
куба лежит на диаметре основания конуса, а вершины C
, D
, A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
, D_{1}
— на боковой поверхности.
Плоскость основания конуса и плоскость диагонального сечения A_{1}B_{1}CD
перпендикулярны прямой SH
, поэтому они параллельны. Рассмотрим сечение конуса и куба плоскостью SAB
. Получим равнобедренный треугольник SPQ
и вписанный в него прямоугольник AD_{1}C_{1}B
со сторонами D_{1}C_{1}=AB=x
и AD_{1}=BC_{1}=x\sqrt{2}
, причём сторона AB
лежит на диаметре PQ
основания конуса.
Пусть H_{1}
— точка пересечения высоты SH
конуса с ребром C_{1}D_{1}
куба. Треугольник SD_{1}C_{1}
подобен треугольнику SPQ
, а треугольник C_{1}BQ
— треугольнику SHQ
, поэтому
\frac{SH_{1}}{SH}=\frac{D_{1}C_{1}}{PQ}=\frac{x}{2R},~\frac{C_{1}Q}{SH}=\frac{QB}{QH}=\frac{R-\frac{x}{2}}{R},
откуда
SH=C_{1}B\cdot\frac{R}{R-\frac{x}{2}}=x\sqrt{2}\cdot\frac{2R}{2R-x}=\frac{2Rx\sqrt{2}}{2R-x},
SH_{1}=SH\cdot\frac{x}{2R}=\frac{2Rx\sqrt{2}}{2R-x}\cdot\frac{x}{2R}=\frac{x^{2}\sqrt{2}}{2R-x}.
Значит,
SO=SH_{1}+H_{1}O=\frac{x^{2}\sqrt{2}}{2R-x}+\frac{x\sqrt{2}}{2}=\frac{x\sqrt{2}(x+2R)}{2(2R-x)},~\frac{SO}{SH}=\frac{\frac{x\sqrt{2}(x+2R)}{2(2R-x)}}{\frac{2Rx\sqrt{2}}{2R-x}}=\frac{x+2R}{4R}.
Рассмотрим сечение конуса и куба плоскостью A_{1}B_{1}CD
. Получим окружность с диаметром A_{1}C=x\sqrt{3}
и вписанный в неё прямоугольник A_{1}B_{1}CD
, причём
A_{1}C=2R\cdot\frac{SO}{SH}=2R\cdot\frac{x+2R}{4R}=\frac{x+2R}{2}.
Из равенства \frac{x+2R}{2}=x\sqrt{3}
находим, что R=\frac{x(2\sqrt{3}-1)}{2}
. Тогда
SH=\frac{2Rx\sqrt{2}}{2R-x}=\frac{\sqrt{2}x^{2}(2\sqrt{3}-1)}{(2\sqrt{3}-2)x}=\frac{\sqrt{2}x(2\sqrt{3}-1)}{2(\sqrt{3}-1)},
V_{\mbox{конуса}}=\frac{1}{3}\pi R^{2}\cdot SH=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{x(2\sqrt{3}-1)}{2}\right)^{2}\cdot\frac{\sqrt{2}x(2\sqrt{3}-1)}{2(\sqrt{3}-1)}=\frac{\pi x^{3}\sqrt{2}(57-7\sqrt{3})}{48}.
Следовательно,
\frac{V_{\mbox{конуса}}}{V_{\mbox{куба}}}=\frac{\pi x^{3}\sqrt{2}(57-7\sqrt{3})}{48x^{3}}=\frac{\pi\sqrt{2}}{48}(53-7\sqrt{3)}.