8975. Ребро правильного тетраэдра SABC
равно a
. Через вершину A
параллельно ребру BC
проведена плоскость так, что угол между прямой AB
и этой плоскостью равен 30^{\circ}
. Найдите площадь сечения.
Ответ. \frac{3a^{2}\sqrt{2}}{25}
.
Решение. Синус угла наклонной AB
к плоскости сечения (рис. 1) равен отношению расстояния от точки B
до этой плоскости к длине наклонной AB
. Прямая BC
параллельна секущей плоскости, значит, все точки этой прямой удалены от секущей плоскости на одно и то же расстояние.
Найдём расстояние от середины P
отрезка BC
до секущей плоскости. Пусть секущая плоскость пересекает плоскость грани SBC
тетраэдра по прямой MN
(M
на SB
, N
на SC
). Плоскость SBC
проходит через прямую BC
, параллельную секущей плоскости, и пересекает эту плоскость по прямой MN
. Следовательно, MN\parallel BC
.
Пусть H
— центр треугольника ABC
, а прямые SP
и MN
пересекаются в точке T
. Рассмотрим сечение тетраэдра плоскостью ASP
. Опустим перпендикуляр PQ
из точки P
на прямую AT
. Тогда длина отрезка PQ
есть расстояние от точки P
до плоскости AMN
. Из условия задачи следует, что \frac{PQ}{AB}=\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}
, поэтому PQ=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}
.
Обозначим \angle SPA=\beta
, \angle PAT=\varphi
. Из прямоугольных треугольников SHP
и APQ
(рис. 2) находим, что
\cos\beta=\frac{HP}{SP}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{3},~\sin\varphi=\frac{PQ}{AP}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
тогда
\sin\beta=\frac{2\sqrt{2}}{3},~\cos\varphi=\sqrt{\frac{2}{3}},~
\sin(\beta+\varphi)=\sin\beta\cos\varphi+\cos\beta\sin\varphi=\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{5}{3\sqrt{3}}.
По теореме синусов
\frac{PT}{\sin\varphi}=\frac{AP}{\sin(180^{\circ}-\beta-\varphi)}=\frac{AP}{\sin(\beta+\varphi)}~\Rightarrow~
PT=\frac{AP\sin\varphi}{\sin(\beta+\varphi)}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{5}{3\sqrt{3}}}=\frac{3a\sqrt{3}}{10},
\frac{AT}{\sin\beta}=\frac{AP}{\sin(180^{\circ}-\beta-\varphi)}=\frac{AP}{\sin(\beta+\varphi)}~\Rightarrow~
AT=\frac{AP\sin\beta}{\sin(\beta+\varphi)}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{5}{3\sqrt{3}}}=\frac{3a\sqrt{2}}{5}.
Тогда
ST=SP-PT=\frac{a\sqrt{3}}{2}-\frac{3a\sqrt{3}}{10}=\frac{a\sqrt{3}}{5}.
По теореме о трёх перпендикулярах AT\perp MN
, значит, AT
— высота треугольника AMN
. Из подобия треугольников SMN
и SBC
находим, что
MN=BC\cdot\frac{ST}{SP}=a\cdot\frac{\frac{a\sqrt{3}}{5}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{5}a.
Следовательно,
S_{\triangle AMN}=\frac{1}{2}MN\cdot AT=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}a\cdot\frac{3a\sqrt{2}}{5}=\frac{3a^{2}\sqrt{2}}{25}.