8995. Пусть прямые a_{1}
и b_{1}
пересекаются в точке M
, а соответственно параллельные им прямые a_{2}
и b_{2}
— в точке N
. Докажите, что угол между a_{1}
и b_{1}
равен углу между a_{2}
и b_{2}
.
Решение. Отметим на прямых a_{1}
и b_{1}
точки A
и B
соответственно, отличные от M
, а на прямых a{2}
и b_{2}
соответственно — точки C
и D
, причём NC=MA
, ND=MB
, точки A
и C
лежат по одну сторону от прямой MN
, а точки B
и D
— по одну сторону от MN
.
Четырёхугольник AMNC
, расположенный в плоскости параллельных прямых a_{1}
и a_{2}
, — параллелограмм, так как его противоположные стороны MA
и NC
параллельны и равны. Значит, AC\parallel MN
и AC=MN
. Аналогично, BD\parallel MN
и BD=MN
. Тогда AC\parallel BD
и AC=BD
, поэтому ABDC
— тоже параллелограмм. Значит, AB=CD
.
Треугольники AMB
и CND
равны по трём сторонам, поэтому, \angle AMB=\angle CND
(если окажется что эти углы больше 90^{\circ}
, то возьмём смежные с ними углы). Следовательно, угол между a_{1}
и b_{1}
равен углу между a_{2}
и b_{2}
.
Примечание. Определение угла между скрещивающимися прямыми. Пусть a
и b
— скрещивающиеся прямые, а M
— точка, не лежащая ни на одной из них. Тогда углом между прямыми a
и b
называются угол между пересекающимися в точке M
прямыми a'
и b'
, соответственно параллельными a
и b
. Если же точка M
лежит на прямой a
, то углом между a
и b
называется угол между прямой a
и прямой b'
, проходящей через точку M
параллельно b
. Аналогично для случая, когда M
лежит на прямой b
.
Из доказанного утверждения следует корректность этого определения: угол между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки в пространстве.