9016. В основании прямой призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
лежит прямоугольный треугольник с катетами AB=8
и BC=6
. Гипотенуза AC
является диаметром основания конуса, вершина которого расположена на ребре A_{1}B_{1}
. Боковая поверхность конуса пересекает ребро AB
в точке M
так, что AM=5
. Найдите объём конуса.
Ответ. 25\pi\sqrt{\frac{5}{3}}
.
Решение. Пусть O
середина AC
(центр основания конуса), S
— вершина конуса, SK
— образующая конуса, проходящая через точку M
. Опустим перпендикуляр ON
из точки O
на ребро AB
. Плоскости граней ABC
и AA_{1}B_{1}B
перпендикулярны, так как призма — прямая. Поэтому прямая ON
перпендикулярна плоскости AA_{1}B_{1}B
. Тогда отрезок NS
— ортогональная проекция высоты OS
конуса на плоскость AA_{1}B_{1}B
. В то же время, точка N
— проекция центра основания конуса на плоскость, проходящую через образующие SA
и SK
, поэтому N
лежит на биссектрисе SE
равнобедренного треугольника ASK
.
Отрезок ON
— средняя линия прямоугольного треугольника ABC
, поэтому ON=\frac{1}{2}BC=3
, а так как N
— середина AB
, то
MN=BN-BM=\frac{1}{2}AB-MB=4-(8-5)=1.
Рассмотрим равнобедренный треугольник ASK
, расположенный в плоскости AA_{1}B_{1}B
. Его медиана SE
пересекается с отрезком AM
в точке N
и при этом AN=4
и MN=1
. Через точку E
проведём прямую, параллельную AM
. Пусть эта прямая пересекается с SK
в точке F
. Тогда EF
— средняя линия треугольника AMK
, поэтому EF=\frac{1}{2}AM=\frac{5}{2}
. Из подобия треугольников SNM
и SEF
находим, что
\frac{SN}{SE}=\frac{MN}{EF}=\frac{1}{\frac{5}{2}}=\frac{2}{5}.
Следовательно, \frac{SN}{NE}=\frac{2}{3}
.
Положим SN=2t
, NE=3t
. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOE
. Его высота ON
, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу SE
на отрезки SN=2t
и NE=3t
, поэтому SN\cdot NE=ON^{2}
, или 6t^{2}=9
, откуда находим, что t^{2}=\frac{3}{2}
. Тогда
SO^{2}=SN\cdot SE=2t(2t+3t)=10t^{2}=10t^{2}=10\cdot\frac{3}{2}=15.
Пусть V
— объём конуса. тогда
V=\frac{1}{3}\pi OA^{2}\cdot SO=\frac{1}{3}\pi\cdot25\cdot\sqrt{15}=25\pi\sqrt{\frac{5}{3}}.