9020. Сторона основания ABC
правильной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
равна a
. Точки M
и N
являются соответственно серединами рёбер AC
и A_{1}B_{1}
. Проекция отрезка MN
на прямую BA_{1}
равна \frac{a}{2\sqrt{6}}
. Определите высоту призмы (найдите все решения).
Ответ. \frac{a}{\sqrt{2}}
, \frac{a}{2\sqrt{6}}
.
Решение. Пусть K
и F
— середины BC
и AB
соответственно. Тогда MK
и MF
— средние линии треугольника ABC
. На продолжении отрезка MK
за точку M
отложим отрезок ML=MK=\frac{a}{2}
. Поскольку MLA_{1}N
— параллелограмм, A_{1}L=MN
и A_{1}L\parallel MN
. Тогда угол между скрещивающимися прямыми MN
и BA_{1}
равен углу между пересекающимися прямыми LA_{1}
и A_{1}B
. Пусть этот угол равен \alpha
, а высота призмы равна h
.
Из прямоугольных треугольников BAA_{1}
и MFN
находим, что
A_{1}B=\sqrt{AB^{2}+AA_{1}^{2}}=\sqrt{a^{2}+h^{2}},~MN=\sqrt{FM^{2}+NF^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+h^{2}}.
Тогда A_{1}L=MN=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+h^{2}}
.
Из равенства треугольников AML
и CMK
следует, что AL=CK=\frac{a}{2}
и AL\parallel BC
, поэтому \angle BAL=180^{\circ}-\angle ABC=120^{\circ}
.
По теореме косинусов
BL^{2}=AL^{2}+AB^{2}-2AL\cdot AB\cos120^{\circ}=\frac{a^{2}}{4}+a^{2}+\frac{a^{2}}{2}=\frac{7a^{2}}{4},
\cos\alpha=\frac{A_{1}L^{2}+A_{1}B^{2}-BL^{2}}{2A_{1}L\cdot A_{1}B}=\frac{\frac{a^{2}}{4}+h^{2}+a^{2}+h^{2}-\frac{7a^{2}}{4}}{2\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+h^{2}}\cdot\sqrt{a^{2}+h^{2}}}=\frac{2h^{2}-\frac{a^{2}}{2}}{2\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+h^{2}}\cdot\sqrt{a^{2}+h^{2}}}.
Пусть PQ
— проекция отрезка MN
на прямую BA_{1}
, PQ=\frac{a}{2\sqrt{6}}
. Известно, что ортогональная проекция отрезка на прямую равна произведению длины отрезка на косинус угла между отрезком и этой прямой, поэтому PQ=MN\cdot\cos\alpha
, или
\frac{a}{2\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+h^{2}}\cdot\frac{2h^{2}-\frac{a^{2}}{2}}{2\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+h^{2}}\cdot\sqrt{a^{2}+h^{2}}},
\frac{a}{2\sqrt{6}}=\frac{2h^{2}-\frac{a^{2}}{2}}{2\sqrt{a^{2}+h^{2}}},~\frac{a^{2}}{6}=\frac{(2h^{2}-\frac{a^{2}}{2})^{2}}{a^{2}+h^{2}},~24h^{4}-13a^{2}h^{2}+\frac{1}{2}a^{4}=0,
откуда h=\frac{a}{\sqrt{2}}
или h=\frac{a}{2\sqrt{6}}
.