9041. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
, стороны основания ABCDEF
которой равны 4, а боковые рёбра равны 3\sqrt{6}
, найдите угол между прямыми BG
и AD
, где G
— точка на ребре SC
, причём SG:GC=1:2
.
Ответ. \arctg\frac{5\sqrt{2}}{4}
.
Решение. Поскольку AD\parallel BC
, угол между скрещивающимися прямыми BG
и AD
равен углу между пересекающимися прямыми BG
и BC
, т. е. углу CBG
.
Пусть M
и H
— проекции точек соответственно S
и G
на основание BC
равнобедренного треугольника BSC
. Тогда
MC=\frac{1}{2}BC=2,~SM=\sqrt{SC^{2}-MC^{2}}=\sqrt{(3\sqrt{6})^{2}-2^{2}}=\sqrt{54-4}=\sqrt{50}=5\sqrt{2},
CH=\frac{2}{3}MC=\frac{2}{3}\cdot2=\frac{4}{3},~BH=BC-CH=4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3},~GH=\frac{2}{3}SM=\frac{10\sqrt{2}}{3}.
Из прямоугольного треугольника BGH
находим, что
\tg\angle CBG=\tg\angle HBG=\frac{GH}{BH}=\frac{\frac{10\sqrt{2}}{3}}{\frac{8}{3}}=\frac{5\sqrt{2}}{4}.