9043. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
, стороны основания ABCDEF
которой равны 1, а боковые рёбра равны 2, найдите угол между прямыми SF
и BM
, где M
— середина ребра SC
.
Ответ. \arccos\frac{\sqrt{6}}{4}
.
Решение. Пусть O
— центр правильного шестиугольника ABCDEF
. Тогда OM
— средняя линия треугольника SCF
, поэтому OM\parallel SF
. Значит, угол между скрещивающимися прямыми SF
и BM
равен углу между пересекающимися прямыми OM
и BM
, т. е. углу BMO
.
Пусть H
и K
— ортогональные проекции точек соответственно S
и M
на ребро BC
. Тогда
CH=BH=\frac{1}{2},~CK=\frac{1}{2}CH=\frac{1}{4},~BK=BC-CK=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4},
MK=\frac{1}{2}SH=\frac{1}{2}\sqrt{SC^{2}-CH^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{4-\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{15}}{2}=\frac{\sqrt{15}}{4},
BM=\sqrt{BK^{2}+MK^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}+\frac{15}{16}}=\frac{\sqrt{6}}{2}.
В треугольнике BMO
известно, что OM=OB=1
, BM=\frac{\sqrt{6}}{2}
. Пусть OL
— высота этого треугольника. Тогда
\cos\angle BMO=\cos\angle LMO=\frac{LM}{OM}=\frac{\frac{\sqrt{6}}{4}}{1}=\frac{\sqrt{6}}{4}.