9051. Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— прямоугольник ABCD
, в котором AB=5
, AD=\sqrt{33}
. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA_{1}D_{1}D
и плоскостью, проходящей через середину ребра CD
перпендикулярно прямой B_{1}D
, если расстояние между прямыми A_{1}C_{1}
и BD
равно \sqrt{3}
.
Ответ. \frac{6}{5}
.
Решение. Пусть O
и O_{1}
— центры граней ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
соответственно. Тогда OO_{1}\parallel AA_{1}
, а так как призма прямая, то AA_{1}
, а значит, и OO_{1}
— перпендикуляр к плоскостям оснований. Поэтому OO_{1}
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых A_{1}C_{1}
и BD
. Следовательно, AA_{1}=OO_{1}=\sqrt{3}
.
Пусть \alpha
— плоскость, проходящая через середину ребра CD
перпендикулярно прямой B_{1}D
. Прямая A_{1}B_{1}
перпендикулярна плоскости AA_{1}D_{1}D
, а прямая B_{1}D
перпендикулярна плоскости \alpha
, значит, угол между этими плоскостями равен углу между прямыми A_{1}B_{1}
и B_{1}D
, т. е. углу DB_{1}A_{1}
.
Из прямоугольных треугольников ADA_{1}
и DA_{1}B_{1}
находим, что
DA_{1}=\sqrt{AD^{2}+AA_{1}^{2}}=\sqrt{33+3}=6,~\tg\angle DB_{1}A_{1}=\frac{DA_{1}}{A_{1}B_{1}}=\frac{6}{5}.