9062. Выведите формулу объёма шара с помощью принципа Кавальери.
Ответ. \frac{4}{3}\pi R^{3}
.
Решение. Рассмотрим полушар радиуса R
и цилиндр, высота и радиус основания которого равны R
. Пусть полушар и цилиндр расположены по одну сторону от общей плоскости \alpha
их оснований. Из цилиндра удалим конус, вершина которого — центр расположенного в плоскости \alpha
основания цилиндра, а основание конуса совпадает с другим основанием цилиндра. Докажем, что полученное таким образом тело P
равновелико полушару.
На расстоянии d\lt R
от плоскости \alpha
проведём плоскость, параллельную \alpha
и пересекающую полушар и тело P
. В сечении с полушаром получим круг радиуса \sqrt{R^{2}-d^{2}}
. Его площадь равна \pi(R^{2}-d^{2})
. В сечении тела P
получим кольцо, внешний диаметр которого равен R
, а внутренний — d
. Площадь этого кольца равна \pi R^{2}-\pi d^{2}=\pi(R^{2}-d^{2})
. Значит, площади обоих сечений равны. По принципу Кавальери полушар и тело P
равновелики. Что и требовалось доказать.
Объём полушара равен объёму тела P
, т. е. разности объёмов цилиндра и конуса. Если V
— искомый объём шара, то
\frac{1}{2}V=\pi R^{2}\cdot R-\frac{1}{3}\pi R^{2}\cdot R=\frac{2}{3}\pi R^{3}.
Следовательно, V=\frac{4}{3}\pi R^{3}
.