9068. На ребре AB
треугольной пирамиды ABCD
выбрана точка X
, причём AX:XB=2
. Точки K
и L
— проекции точки X
на плоскости ACD
и BCD
соответственно. Известно, что KC=2
, KD=6
, KA=8
, LC=7
, LB=5
. Найдите длину отрезка LD
, высоту пирамиды, опущенную из вершины A
, и угол между ребром AB
и плоскостью BCD
.
Ответ. 9, 3\sqrt{3}
, \arcsin\frac{\sqrt{21}}{14}
.
Решение. 1) Обозначим XK=a
, XL=b
. Поскольку XK
и XL
— перпендикуляры к плоскостям соответственно ACD
и BCD
, треугольники XKC
и XLD
— прямоугольные, поэтому
XC^{2}=XK^{2}+CK^{2}=a^{2}+4,~XC^{2}=XL^{2}+CL^{2}=b^{2}+49,
XD^{2}=XK^{2}+DK^{2}=a^{2}+36,~XD^{2}=XL^{2}+DL^{2}=b^{2}+DL^{2}.
Значит, a^{2}+4=b^{2}+49
и a^{2}+36=b^{2}+DL^{2}
, или a^{2}-b^{2}=45
и a^{2}-b^{2}=DL^{2}-36
. Отсюда находим, что LD^{2}=81
. Следовательно, DL=9
.
2) Пусть AH
— высота пирамиды, проведённая из вершины A
. Точка L
лежит на отрезке BH
— ортогональной проекции наклонной AB
на плоскость BCD
. Обозначим AH=h
. Прямоугольные треугольники ABH
и XBL
подобны с коэффициентом \frac{AB}{XB}=3
, поэтому h=AH=3XB=3b
.
Из прямоугольных треугольников XKA
и XLB
получаем, что
4XB^{2}=XA^{2}=XK^{2}+KA^{2}=a^{2}+64,~XB^{2}=XL^{2}+LB^{2}=b^{2}+25,
откуда a^{2}+64=4b^{2}+100
. Поэтому a^{2}-4b^{2}=36
. Вычитая это равенство из полученного ранее равенства a^{2}-b^{2}=45
, находим, что 3b^{2}=9
, b^{2}=9
, b=\sqrt{3}
. Следовательно, h=3b=3\sqrt{3}
.
3) Поскольку BH
— ортогональная проекция наклонной AB
на плоскость BCD
, угол ребра AB
с плоскостью BCD
— это угол ABH
. Из прямоугольного треугольника ABH
, учитывая, что XB^{2}=b^{2}+25
, находим:
\sin\angle ABH=\frac{AH}{AB}=\frac{h}{3XB}=\frac{3b}{3XB}=\frac{b}{XB}=\frac{b}{\sqrt{b^{2}+25}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3+25}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}.