9084. Основание пирамиды SABCD
— квадрат ABCD
со стороной 6\sqrt{2}
. Боковое ребро SA
перпендикулярно плоскости основания и равно 5. Найдите расстояния между прямыми: а) AD
и SB
; б) SC
и BD
.
Ответ. а) \frac{30\sqrt{2}}{97}
; б) \frac{30}{13}
.
Решение. а) Пусть H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки A
на прямую SB
. Прямая AD
перпендикулярна двум пересекающимся прямым AB
и SA
плоскости грани ASB
, поэтому прямая AD
перпендикулярна этой плоскости. Значит, AH\perp AD
, а так как AH\perp SB
, то AH
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AD
и SB
. Из прямоугольного треугольника ASB
находим, что
SB=\sqrt{SA^{2}+AB^{2}}=\sqrt{25+72}=\sqrt{97},
а так как SB\cdot AH=AB\cdot SA
(удвоенная площадь треугольника ASB
), то
AH=\frac{AB\cdot SA}{SB}=\frac{6\sqrt{2}\cdot5}{\sqrt{97}}=\frac{30\sqrt{2}}{\sqrt{97}}.
б) Пусть O
— центр квадрата ABCD
, P
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O
на прямую SC
. Прямая BD
перпендикулярна двум пересекающимся прямым AC
и SA
плоскости ASC
, поэтому OP\perp BD
. Значит, OP
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых SC
и BD
.
Из прямоугольного треугольника ASC
находим, что
SC=\sqrt{SA^{2}+AC^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13,
Пусть AQ
— высота этого треугольника. Тогда
AQ=\frac{SA\cdot AC}{SC}=\frac{5\cdot12}{13}=\frac{60}{13},
а так как OP
— средняя линия треугольника AQC
, то
OP=\frac{1}{2}AQ=\frac{30}{13}.