9090. Треугольники
ABC
,
A_{1}B_{1}C_{1}
и
A_{2}B_{2}C_{2}
расположены так, что точки
A
,
B
и
C
являются серединами отрезков
A_{1}A_{2}
,
B_{1}B_{2}
и
C_{1}C_{2}
соответственно. Докажите, что точки пересечения медиан этих треугольников лежат на одной прямой.
Указание. См. задачу 4507.
Решение. Точки
A
,
B
и
C
— середины отрезков
A_{1}A_{2}
,
B_{1}B_{2}
и
C_{1}C_{2}
, поэтому
\overrightarrow{AA_{2}}=-\overrightarrow{AA_{1}},~\overrightarrow{BB_{2}}=-\overrightarrow{BB_{1}},~\overrightarrow{CC_{2}}=-\overrightarrow{CC_{1}}.

Пусть
M
,
M_{1}
и
M_{2}
— точки пересечения медиан треугольников
ABC
,
A_{1}B_{1}C_{1}
и
A_{2}B_{2}C_{2}
соответственно. Тогда (см. задачу 4507)
\overrightarrow{MM_{1}}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{CC_{1}}),~

\overrightarrow{MM_{2}}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AA_{2}}+\overrightarrow{BB_{2}}+\overrightarrow{CC_{2}})=\frac{1}{3}(-\overrightarrow{AA_{1}}-\overrightarrow{BB_{1}}-\overrightarrow{CC_{1}})=

=-\frac{1}{3}(\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{CC_{1}})=-\overrightarrow{MM_{1}}.

Из равенства
\overrightarrow{MM_{2}}=-\overrightarrow{MM_{1}}
следует, что точки
M
,
M_{1}
и
M_{2}
лежат на одной прямой.