9094. Докажите, что сумма квадратов проекций всех рёбер правильного тетраэдра на плоскость не зависит от взаимного расположения тетраэдра и плоскости и равна 4a^{2}
, где a
— ребро тетраэдра.
Указание. Достройте тетраэдр до параллелепипеда, проведя через пары противоположных рёбер параллельные плоскости.
Решение. Достроим тетраэдр до куба, проведя через пары противоположных рёбер параллельные плоскости. Ребро полученного куба равно \frac{a}{\sqrt{2}}
, значит, сумма квадратов проекций рёбер этого куба на плоскость равна 8\cdot\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}=4a^{2}
(см. задачу 9093). Проекция каждой грани куба на плоскость есть параллелограмм или отрезок. Стороны параллелограмма — проекции рёбер куба, а диагонали — проекции рёбер тетраэдра. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон (см. задачу 4011), следовательно, сумма квадратов всех рёбер тетраэдра есть сумма квадратов проекций всех рёбер куба с ребром \frac{a}{\sqrt{2}}
, т. е. 4a^{2}
.