9096. Диагональ AC_{1}
прямоугольного параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
образует с рёбрами AB
, AD
и AA_{1}
углы \alpha
, \beta
и \gamma
. Докажите, что \alpha+\beta+\gamma\lt180^{\circ}
.
Указание. Рассмотрите трёхгранный угол OACD_{1}
с вершиной O
, где O
— точка пересечения диагоналей параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
.
Решение. Пусть O
— точка пересечения диагоналей параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Поскольку ABC_{1}D_{1}
— прямоугольник, \angle AOD_{1}=2\angle OAB=2\alpha
. Аналогично \angle COD_{1}=2\beta
и \angle AOC=2\gamma
.
Рассмотрим трёхгранный угол OACD_{1}
с вершиной O
. Сумма его плоских углов меньше 360^{\circ}
(см. задачу 7434), т. е.
\angle AOD_{1}+\angle COD_{1}+\angle AOC\lt360^{\circ},
или
2\alpha+2\beta+2\gamma\lt360^{\circ}.
Следовательно, \alpha+\beta+\gamma\lt180^{\circ}
.