9100. Известно, что в тетраэдре ABCD
ребро AB
перпендикулярно ребру CD
, а ребро BC
— ребру AD
. Докажите, что ребро AC
перпендикулярно ребру BD
.
Указание. Примените теорему о трёх перпендикулярах (см. задачу 7707).
Решение. Первый способ. Пусть DH
— высота тетраэдра. Тогда прямая CH
— ортогональная проекция прямой CD
на плоскость ABC
. По теореме о трёх перпендикулярах (см. задачу 7707) CH\perp AB
. Аналогично AH\perp BC
, значит, H
— точка пересечения высот треугольника ABC
, поэтому BH\perp AC
. Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах AC\perp BD
.
Второй способ. Для любых четырёх точек пространства верно равенство
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}=0
(см. задачу 7257), а так как AB\perp CD
и BC\perp AD
, то \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=0
и \overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}=0
. Значит, \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}=0
. Следовательно, AC\perp BD
.
Третий способ. Достроим тетраэдр ABCD
до параллелепипеда, проведя через противоположные рёбра три пары параллельных плоскостей. Грани параллелепипеда, содержащие рёбра AB
и CD
тетраэдра, — ромбы (параллелограммы с перпендикулярными диагоналями). Аналогично для противоположных граней, содержащих противоположные рёбра BC
и AD
. Тогда грани, содержащие противоположные ребра AC
и BD
тетраэдра, — также ромбы (параллелограммы с равными сторонами). Значит, их диагонали перпендикулярны. Следовательно, AC\perp BD
.