9104. Две плоскости перпендикулярны третьей и пересекаются по некоторой прямой. Докажите, что эта прямая перпендикулярна третьей плоскости.
Решение. Первый способ. Пусть плоскости \alpha
и \beta
, пересекающиеся по прямой l
, перпендикулярны плоскости \gamma
и пересекают её по прямым a
и b
соответственно.
Через точку M
, лежащую на прямой l
, проведём прямые a'
и b'
, перпендикулярные a
и b
соответственно. Проведённые прямые перпендикулярны плоскости \gamma
(см. задачу 7712) и проходят через одну точку, значит, они совпадают с прямой l
(см. задачу 7706). Прямая l
перпендикулярна двум пересекающимся прямым a
и b
плоскости \gamma
, следовательно, l\perp\gamma
.
Второй способ. Пусть плоскости \alpha
и \beta
, пересекающиеся по прямой l
, перпендикулярны плоскости \gamma
. Тогда в плоскостях \alpha
и \beta
найдутся прямые соответственно m
и n
, перпендикулярные плоскости \gamma
(см. задачу 7710). Эти прямые параллельны, так как они перпендикулярны одной и той же плоскости. Через них проходят плоскости \alpha
и \beta
, пересекающиеся по прямой l
, Значит, эта прямая параллельна прямым m
и n
(см. задачу 8004). Следовательно, прямая l
перпендикулярна плоскости \gamma
(см. задачу 7701).