9113. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Сравните расстояния от вершины A
до плоскостей A_{1}BD
и C_{1}BD
. Обоснуйте ответ.
Ответ. Расстояния равны.
Решение. Пусть O
— точка пересечения AC
и BD
, прямые C_{1}O
и A_{1}A
пересекаются в точке A_{2}
(обе прямые лежат в плоскости диагонального сечения AA_{1}C_{1}C
). Тогда A_{2}
— точка пересечения прямой A_{1}A
с плоскостью C_{1}BD
.
Поскольку AO\parallel A_{1}C_{1}
и AO=\frac{1}{2}A_{1}C_{1}
, отрезок AO
— средняя линия треугольника A_{1}A_{2}C_{1}
, следовательно, A_{1}A=A_{2}A
.
Таким образом, точки A_{1}
и A_{2}
симметричны относительно плоскости ABC
, следовательно, и тетраэдры AA_{1}BD
и AA_{2}BD
симметричны относительной этой плоскости. Расстояния от точки A
до плоскостей A_{1}BD
и C_{1}BD
равны длинам высот этих тетраэдров, проведённых из точки A
. Следовательно, расстояния от точки A
до плоскостей A_{1}BD
и C_{1}BD
равны.