9130. В кубе ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
все рёбра равны 5. На его ребре BB_{1}
отмечена точка K
так, что KB=3
. Через точки K
и C_{1}
проведена плоскость \alpha
, параллельная прямой BD_{1}
.
а) Докажите, что A_{1}P:PB_{1}=1:2
, где P
— точка пересечения плоскости \alpha
с ребром A_{1}B_{1}
.
б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью \alpha
.
Ответ. \frac{1075}{9}
.
Решение. Прямая BD_{1}
, параллельная плоскости \alpha
, лежит в плоскости BB_{1}D_{1}D
; K
— общая точка этих плоскостей. Значит, плоскости \alpha
и BB_{1}D_{1}D
пересекаются по прямой l
, проходящей через точку K
параллельно прямой BD_{1}
.
Пусть прямая l
пересекает диагональ B_{1}D_{1}
квадрата A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
в точке N
. Тогда прямые C_{1}N
и A_{1}B_{1}
пересекаются в точке P
, о которой говорится в условии задачи. Следовательно, сечение куба плоскостью \alpha
— это треугольник KPC_{1}
.
По теореме о пропорциональных отрезках \frac{B_{1}N}{ND_{1}}=\frac{B_{1}K}{KB}=\frac{2}{3}
. Из подобия треугольников PB_{1}N
и C_{1}D_{1}N
получаем, что \frac{B_{1}P}{C_{1}D_{1}}=\frac{2}{3}
. Значит,
PB_{1}=\frac{2}{3}C_{1}D_{1}=\frac{10}{3},~A_{1}P=A_{1}B_{1}-PB_{1}=5-\frac{10}{3}=\frac{5}{3}.
Следовательно, \frac{A_{1}P}{PB_{1}}=\frac{\frac{5}{3}}{\frac{10}{3}}=\frac{1}{2}
.
б) Искомый объём V
равен разности объёмов куба и треугольной пирамиды B_{1}C_{1}PK
, с основанием B_{1}C_{1}P
и высотой KB_{1}=2
, а так как
S_{\triangle B_{1}C_{1}P}=\frac{1}{2}B_{1}P\cdot B_{1}C_{1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{10}{3}\cdot5=\frac{25}{3},
то
V=AB^{3}-\frac{1}{3}S_{\triangle B_{1}C_{1}P}\cdot KB_{1}=5^{3}-\frac{1}{3}\cdot\frac{25}{3}\cdot2=\frac{1075}{9}.