9136. В основании прямой призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
лежит квадрат ABCD
со стороной 4, а высота призмы равна \sqrt{17}
. Точка E
лежит на диагонали BD_{1}
, причём BE=1
.
а) Постройте сечение призмы плоскостью A_{1}C_{1}E
.
б) Найдите угол наклона этой плоскости к плоскости ABC
.
Ответ. \frac{3\sqrt{34}}{10}
.
Решение. а) Секущая плоскость пересекает грань A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
по прямой A_{1}C_{1}
. Прямая A_{1}E
лежит в плоскости диагонального сечения A_{1}BCD_{1}
, значит, эта прямая пересекается с ребром BC
в некоторой точке P
, лежащей в секущей плоскости. Аналогично строится точка Q
пересечения секущей плоскости с ребром AB
. При этом PQ\parallel A_{1}C_{1}
по теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью. Таким образом, искомое сечение — равнобедренная трапеция A_{1}C_{1}PQ
.
По теореме о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда
BD_{1}=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}+CC_{1}^{2}}=\sqrt{16+16+17}=7,
поэтому \frac{BE}{ED_{1}}=\frac{1}{6}
. Треугольник BEP
подобен треугольнику D_{1}EA_{1}
, значит,
\frac{BP}{BC}=\frac{BP}{A_{1}D_{1}}=\frac{BE}{ED_{1}}=\frac{1}{6}.
Следовательно,
\frac{BQ}{QA}=\frac{BP}{PC}=\frac{1}{5}.
б) Пусть O
и O_{1}
— центры граней ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
соответственно, M
— точка пересечения BD
и PQ
. Прямая AC
перпендикулярна плоскости BDD_{1}B_{1}
, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым BD
и OO_{1}
этой плоскости. Значит, прямая PQ
, параллельная AC
, также перпендикулярна плоскости BDD_{1}B_{1}
. Следовательно, угол между плоскостями A_{1}C_{1}E
и ABCD
— это угол OMO_{1}
.
По теореме о пропорциональных отрезках \frac{BM}{MO}=\frac{BP}{PC}=\frac{1}{5}
, значит,
MO=\frac{5}{6}OB=\frac{5}{6}\cdot2\sqrt{2}=\frac{5\sqrt{2}}{3}.
Из прямоугольного треугольника OMO_{1}
находим,
\tg\angle OMO_{1}=\frac{OO_{1}}{MO}=\frac{\sqrt{17}}{\frac{5\sqrt{2}}{3}}=\frac{3\sqrt{34}}{10}.