9146. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник ABC
, с прямым углом при вершине C
, SA
— высота пирамиды. Известно, что SA=8
, BC=\frac{8}{\sqrt{3}}
. Найдите угол между плоскостью основания пирамиды и плоскостью, проходящей через прямую AC
и середину ребра SB
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. По теореме о трёх перпендикулярах SC\perp BC
(см. задачу 7707). Медиана CM
прямоугольного треугольника BCS
равна половине гипотенузы SB
, медиана AM
прямоугольного треугольника ABS
также равна половине гипотенузы SB
. Значит, треугольник ACM
— равнобедренный.
Пусть MK
— перпендикуляр, опущенный из точки M
на ребро AB
. Тогда MK
— средняя линия прямоугольного треугольника ABS
, значит, MK=4
и MK\parallel SA
, а так как SA
— перпендикуляр к плоскости основания пирамиды, то MK
— также перпендикуляр к этой плоскости (см. задачу 7705).
Проведём высоту MN
равнобедренного треугольника AMC
. По теореме о трёх перпендикулярах KN\perp AC
, поэтому MNK
— линейный угол двугранного угла между плоскостями AMC
и ABC
, а так как N
— середина AC
, то NK
— средняя линия треугольника ABC
. Значит, NK=\frac{1}{2}BC=\frac{4}{\sqrt{3}}
, поэтому
\tg\angle MNK=\frac{MK}{NK}=\frac{4}{\frac{4}{\sqrt{3}}}=\sqrt{3}.
Следовательно, \angle MNK=60^{\circ}
.