9151. Основание пирамиды SABC
— треугольник ABC
. Высота пирамиды проходит через точку B
. Найдите угол между плоскостью основания пирамиды и плоскостью, проходящей через середины рёбер AC
, BC
, BS
и AS
, если известно, что грани ABC
и ABS
равновелики.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Пусть K
, L
, M
и N
— середины рёбер SB
, SA
, AC
и BC
соответственно, H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки L
на AB
.
Отрезки KL
и MN
— средние линии треугольников ABS
и ABC
, поэтому KL=MN
и KL\parallel MN
. Значит, четырёхугольник KLMN
— параллелограмм. Отрезок LH
— средняя линия прямоугольного треугольника ABS
, поэтому LH\parallel BS
, а так как BS
— перпендикуляр к плоскости основания пирамиды, то LH
— также перпендикуляр к этой плоскости.
Пусть P
— основание перпендикуляра, опущенного из точки L
на MN
. По теореме о трёх перпендикулярах HP\perp MN
, поэтому LPH
— линейный угол двугранного угла между плоскостью основания и плоскостью KLMN
.
Треугольники ABC
и ABS
равновелики, поэтому их высоты SB
и CF
, опущенные на общую сторону AB
, равны. Значит, равны и половины этих высот, т. е. отрезки LH
и PH
. Поэтому
\tg\angle LPH=\frac{LH}{HP}=1.
Следовательно, \alpha=45^{\circ}
.