9167. Дана правильная треугольная призма ABCA_{1}B_{1}C_{1}
. На ребре BC
взята точка M
, причём BM:CM=1:2
.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через центры граней A_{1}B_{1}C_{1}
и BB_{1}C_{1}C
параллельно ребру AC
, проходит через точку M
.
б) Пусть K
— середина ребра A_{1}C_{1}
, N
— центр грани BB_{1}C_{1}C
. Найдите угол между прямыми B_{1}K
и MN
, если AC=18\sqrt{3}
, AA_{1}=\sqrt{13}
.
Ответ. \arccos\frac{9}{11}
.
Решение. а) Пусть O
— центр грани A_{1}B_{1}C_{1}
. Плоскость проходит через точку O
параллельно прямой A_{1}C_{1}
, значит, эта плоскость пересекает грань A_{1}B_{1}C_{1}
по прямой, параллельной A_{1}C_{1}
.
Пусть эта прямая пересекает ребро B_{1}C_{1}
в точке L
. Тогда C_{1}L:B_{1}L=KO:OB_{1}=1:2
Пусть прямая LN
пересекает ребро BC
в точке M'
. Из равенства треугольников BNM'
и C_{1}NL
(по стороне и двум прилежащим к ней углам) получаем, что BM'=LC_{1}
. Тогда CM'=B_{1}L
. Следовательно, BM':CM'=C_{1}L:B_{1}L=1:2
, т. е. точка M'
совпадает с M
.
б) Пусть P
— основание перпендикуляра, опущенного из L
на ребро A_{1}C_{1}
. Тогда LP\parallel B_{1}K
, поэтому угол между прямыми B_{1}K
и MN
равен углу между прямыми LP
и LM
или дополняет его до 180^{\circ}
.
Треугольник LPC_{1}
подобен треугольнику B_{1}KC_{1}
с коэффициентом \frac{C_{1}L}{C_{1}B_{1}}=\frac{1}{3}
, значит,
LP=\frac{1}{3}B_{1}K=\frac{1}{3}\cdot\frac{A_{1}C_{1}\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{18\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=9.
Пусть H
— проекция точки L
на ребро BC
. Тогда
MH=CM-CH=\frac{2}{3}BC-\frac{1}{3}C_{1}K=12\sqrt{3}-6\sqrt{3}=3\sqrt{3}.
Из прямоугольного треугольника LMH
находим, что
ML=\sqrt{MH^{2}+LH^{2}}=\sqrt{108+13}=11.
Пусть Q
— проекция точки P
на ребро AC
. Тогда
CQ=C_{1}P=\frac{1}{3}C_{1}K=\frac{1}{3}\cdot9\sqrt{3}=3\sqrt{3}.
По теореме косинусов
MQ^{2}=CQ^{2}+CM^{2}-2CQ\cdot CM\cos60^{\circ}=27+144\cdot3-3\sqrt{3}\cdot12\sqrt{3}=9\cdot39.
Тогда
MP=\sqrt{PQ^{2}+MQ^{2}}=\sqrt{13+9\cdot39}=2\sqrt{91}.
Значит,
\cos\angle MLP=\frac{LP^{2}+LM^{2}-MP^{2}}{2\cdot LP\cdot LM}=\frac{81+121-364}{2\cdot9\cdot11}=-\frac{9}{11}.
Следовательно, искомый угол между прямыми равен \arccos\frac{9}{11}
.