9173. Дан параллелепипед ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Его основания ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— квадраты. Отрезок, соединяющий центр O
основания A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с вершиной C
, перпендикулярен основаниям.
а) Докажите, что прямые CC_{1}
и BD
перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми A_{1}C
и AB
, если сторона основания параллелепипеда равна 6, а боковое ребро равно \sqrt{34}
.
Ответ. 4,8.
Решение. а) Отрезок OC_{1}
— ортогональная проекция наклонной CC_{1}
на плоскость A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому OC_{1}\perp B_{1}D_{1}
. Значит, по теореме о трёх перпендикулярах CC_{1}\perp B_{1}D_{1}
, а так как BD\parallel B_{1}D_{1}
, то CC_{1}\perp BD
.
б) Рассмотрим четырёхугольную пирамиду CA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с вершиной C
. Её основание — квадрат A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, а высота CO
проходит через центр основания. Значит, эта пирамида правильная.
Поскольку AB\parallel A_{1}B_{1}
, прямая AB
параллельна плоскости A_{1}B_{1}CD
. Значит, расстояние между прямыми AB
и CC_{1}
равно расстоянию от любой точки прямой AB
до этой плоскости (см. задачу 7889).
Возьмём точку B
. Поскольку наклонная BC_{1}
делится пополам плоскостью A_{1}B_{1}CD
, точки B
и C_{1}
равноудалены от этой плоскости (см. задачу 9180). Таким образом, задача сводится к вычислению расстояния от любой точки ребра C_{1}D_{1}
правильной четырёхугольной пирамиды OA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
до плоскости боковой грани A_{1}CB_{1}
.
Возьмём точку C_{1}
. Точка O
— середина наклонной C_{1}A_{1}
к плоскости A_{1}CB_{1}
, значит, расстояние от точки C_{1}
до этой плоскости вдвое больше расстояние до неё от точки O
, т. е. расстояния от центра основания правильной четырёхугольной пирамиды до плоскости боковой грани A_{1}CB_{1}
.
Опустим перпендикуляр OH
из центра квадрата A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
на высоту CM
грани A_{1}CB_{1}
. Тогда OH
— перпендикуляр к этой плоскости. В прямоугольном треугольнике COM
известно, что
OM=\frac{1}{2}B_{1}C_{1}=3,~CM=\sqrt{CB_{1}^{2}-A_{1}M^{2}}=\sqrt{34-9}=5,~CO=4.
Значит,
OH=\frac{OM\cdot CO}{CM}=\frac{3\cdot4}{5}=\frac{12}{5}.
Следовательно, искомое расстояние равно \frac{24}{5}
.