9179. Основание пирамиды SABCD
— квадрат ABCD
, боковое ребро SA
перпендикулярно плоскости основания, BC=2SA
. Точка M
— середина ребра AB
.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую SM
параллельно BD
, — равносторонний треугольник.
б) Найдите расстояние между прямыми SM
и BD
, если AB=6\sqrt{3}
.
Ответ. 3.
Решение. а) Положим SA=a
, BC=2a
. Плоскость ABCD
проходит через прямую BD
, параллельную секущей плоскости, а M
— общая точка этих плоскостей, значит, плоскости пересекаются по прямой l
, проходящей через точку M
параллельно BD
(см. задачу 8003). Пусть K
— точка пересечения прямой l
с ребром AD
. Тогда MK
— средняя линия треугольника ABD
, поэтому
MK=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\cdot2a\sqrt{2}=a\sqrt{2}.
Из равных прямоугольных треугольников AMS
и AKS
находим, что SM=SK=a\sqrt{2}
. Следовательно, SM=SK=MK
.
б) Поскольку BD\parallel MK
, прямая BD
параллельна плоскости MSK
. Значит, расстояние между прямыми SM
и BD
равно расстоянию от любой точки прямой BD
до плоскости MSK
(см. задачу 7889). Возьмём точку B
. Отрезок AB
делится плоскостью MSK
пополам, поэтому точки B
и A
равноудалены от этой плоскости (см. задачу 9180). Таким образом, задача сводится к вычислению расстояния от точки A
до плоскости MSK
.
Пусть O
— центр квадрата ABCD
, L
— точка пересечения AC
и MK
. Тогда L
— общая середина отрезков OL
и MK
, поэтому
AL=\frac{1}{2}AO=\frac{1}{2}a\sqrt{2},
а SL
— высота равностороннего треугольника MSK
,
SL=\frac{a\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}.
Пусть AH
— высота прямоугольного треугольника SAL
. Тогда AH
— перпендикуляр к плоскости MSK
, значит, расстояние от точки A
до этой плоскости равно длине отрезка AH
, т. е.
AH=\frac{AL\cdot SA}{SL}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot a}{\frac{a\sqrt{6}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=3.