9192. Точка M
— середина ребра AB
правильного тетраэдра ABCD
.
а) Докажите, что ортогональная проекция точки M
на плоскость ACD
лежит на медиане AP
этой грани.
б) Найдите угол между прямой DM
и плоскостью ACD
.
Ответ. \arcsin\frac{\sqrt{2}}{3}
.
Решение. а) Пусть L
— центр грани ACD
, H
— середина отрезка AL
. Поскольку ABCD
— правильный тетраэдр, BL
— его высота, а так как MH
— средняя линия треугольника ABL
, то MH\parallel BL
. Значит, BH
— перпендикуляр к плоскости ADC
(см. задачу 7701). Следовательно, H
— ортогональная проекция точки M
на эту плоскость.
б) Пусть ребро тетраэдра равно a
. Тогда (см. задачу 7040)
BL=a\sqrt{\frac{2}{3}},~MH=\frac{1}{2}BL=\frac{1}{2}a\sqrt{\frac{2}{3}}.
Угол наклонной MD
с плоскостью ADC
— это угол между наклонной и её ортогональной проекцией на эту плоскость, т. е. угол MDH
. Из прямоугольного треугольника MDH
находим, что
\sin\angle MDH=\frac{MH}{MD}=\frac{\frac{1}{2}a\sqrt{\frac{2}{3}}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}.
Следовательно, \angle MDH=\arcsin\frac{\sqrt{2}}{3}
.