9202. Основание шестиугольной призмы ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
— правильный шестиугольник ABCDEF
с центром O
. Отрезок OA_{1}
— высота призмы.
а) Докажите, что плоскость FF_{1}E
перпендикулярна плоскости основания призмы.
б) Найдите расстояние от точки A
до плоскости BCC_{1}
, если сторона основания призмы равна 2\sqrt{3}
.
Ответ. 3.
Решение. а) Поскольку A_{1}F_{1}=AF=OE
и A_{1}F_{1}\parallel AF\parallel OE
, четырёхугольник AFF_{1}A_{1}
— параллелограмм, значит, EF_{1}\parallel OA_{1}
, а так как OA_{1}
— перпендикуляр к плоскости основания призмы, то EF_{1}
— также перпендикуляр к этой плоскости (см. задачу 7701). Плоскость FF_{1}E
проходит через прямую EF_{1}
, перпендикулярную плоскости основания призмы, следовательно, плоскость FF_{1}E
перпендикулярна плоскости основания призмы (см. задачу 7710).
б) Четырёхугольник COA_{1}B_{1}
— прямоугольник, значит, прямая CB_{1}
, параллельная OA_{1}
, перпендикулярна плоскости ABCDEF
. Прямая AD
параллельна прямой BC
, лежащей в плоскости BCC_{1}
, поэтому прямая AO
параллельна этой плоскости (см. задачу 8002). Значит, расстояние от точки A
до плоскости BCC_{1}
равно расстоянию до этой плоскости от точки O
.
Пусть OH
— высота равностороннего треугольника BOC
. Прямая OH
перпендикулярна двум пересекающимся прямым BC
и CB_{1}
плоскости BCC_{1}
, значит, OH
— перпендикуляр к этой плоскости, и расстояние от точки O
до плоскости BCC_{1}
равно OH
, т. е.
OH=\frac{BC\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=3.