9211. Все грани параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— равные ромбы, причём плоские углы при вершине C
— острые.
а) Докажите, что AA_{1}\perp BD
.
б) Найдите расстояние от вершины C
до плоскости A_{1}B_{1}C_{1}
, если плоские углы при вершине C
равны 60^{\circ}
, а AA_{1}=\sqrt{6}
.
Ответ. 2.
Решение. а) Пусть C_{1}H
— высота параллелепипеда, опущенная на основание ABCD
. Поскольку C_{1}B
и C_{1}D
— диагонали равных ромбов BB_{1}C_{1}C
и DD_{1}D_{1}C
, лежащие против острых углов, то C_{1}B=C_{1}D
. Тогда BH=DH
как ортогональные проекции равных наклонных, проведённых к плоскости ABCD
из одной точки. Точка H
равноудалена от концов отрезка BD
, значит, H
лежит на серединном перпендикуляре к диагонали BD
ромба ABCD
, т. е. на прямой AC
.
По теореме о трёх перпендикулярах CC_{1}\perp BD
, а так как AA_{1}\parallel CC_{1}
, то AA_{1}\perp BD
.
б) Пусть все рёбра параллелепипеда равны a
. Угол при вершине C
равнобедренного треугольника BCC_{1}
равен 60^{\circ}
, значит, этот треугольник равносторонний. Тогда BC_{1}=BC=a
. Аналогично DC_{1}=a
и BD=a
. Следовательно, BCDC_{1}
— правильный тетраэдр с ребром a
, а C_{1}H
— его высота.
Поскольку AC\parallel A_{1}C_{1}
, прямая AC
параллельна плоскости A_{1}B_{1}C_{1}
, а так как точка H
лежит на прямой AC
, то искомое расстояние от точки C
до плоскости A_{1}B_{1}C_{1}
равно расстоянию до этой плоскости от точки H
, т. е.
C_{1}H=a\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{6}\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}=2
(см. задачу 7040).