9227. Основание пирамиды SABCD
— параллелограмм ABCD
. Точка K
лежит на ребре SD
и отлична от S
и D
.
а) Может ли сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую AB
и точку K
, быть параллелограммом?
б) Пусть K
— середина ребра SD
, M
— середина ребра AB
, а пирамида SABCD
правильная, причём все её рёбра равны. Найдите угол между прямыми AK
и SM
.
Ответ. а) Не может; б) \arccos\frac{5}{6}
.
Решение. а) Плоскости ABK
и CSD
проходят через параллельные прямые AB
и CD
соответственно и имеют общую точку K
, значит, они пересекаются по прямой l
, проходящей через точку K
параллельно AB
. Пусть прямая l
пересекает ребро SC
в точке L
. Тогда сечение пирамиды плоскостью ABK
— четырёхугольник AKLB
, в котором KL\parallel AB
, но KL\lt CD=AB
. Следовательно, это сечение не может быть параллелограммом.
б) Пусть N
— середина ребра SC
. Тогда KN
— средняя линия треугольника CSD
, поэтому
KN\parallel CD\parallel AB~\mbox{и}~KN=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AB=AM.
Значит, AKNM
— параллелограмм, следовательно, MN\parallel AK
, а угол между скрещивающимися прямыми AK
и SM
равен углу между пересекающимися прямыми MN
и SM
, т. е. углу SMN
.
Пусть все рёбра пирамиды равны a
. Тогда
MN=AK=SM=\frac{a\sqrt{3}}{2},~SN=\frac{1}{2}SC=\frac{a}{2}.
Из треугольника SMN
по теореме косинусов находим, что
\cos\angle SMN=\frac{SM^{2}+MN^{2}-SN^{2}}{2SM\cdot SN}=\frac{\frac{3a^{2}}{4}+\frac{3a^{2}}{4}-\frac{a^{2}}{4}}{2\cdot\frac{3a^{2}}{4}}=\frac{5}{6}.