9232. Основание пирамиды ABCD
— треугольник ABC
со сторонами AC=6
, BC=8
, AB=10
. Все боковые рёбра равны.
а) Докажите, что высота пирамиды проходит через середину отрезка AB
.
б) Найдите расстояние между прямыми DM
и BC
, где DM
— высота пирамиды ABCD
.
Ответ. 3.
Решение. а) Треугольник ABC
прямоугольный, так как
AB^{2}=100=36+64=AC^{2}+BC^{2}.
Пусть DM
— высота пирамиды. Прямоугольные треугольники AHD
, BMD
и CMD
равны по катету и гипотенузе. Значит, MA=MB=MC
, т. е. точка M
равноудалена от вершин треугольника ABC
, поэтому M
— центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC
, т. е. середина гипотенузы AB
.
б) Пусть K
— середина катета BC
. Тогда MK
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому MK\parallel AC
. Значит, MK\perp BC
. С другой стороны, так как DM
— высота пирамиды, то MK\perp DM
. Следовательно, MK
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых BC
и DM
, и расстояние между прямыми BC
и DM
равно длине отрезка MK
, т. е.
MK=\frac{1}{2}AC=3.