9234. Основание пирамиды SABCD
— квадрат ABCD
. Боковое ребро SA
перпендикулярно плоскости основания.
а) Докажите, что плоскости ASD
и CSD
перпендикулярны.
б) Найдите расстояния между прямыми SC
и BD
, если сторона основания равна 2, а высота пирамиды равна 2\sqrt{2}
.
Ответ. 1.
Решение. а) Прямая CD
перпендикулярна двум пересекающимся прямым AD
и SA
плоскости ASD
, значит, CD
— перпендикуляр к этой плоскости. Плоскость CSD
проходит через прямую CD
, перпендикулярную плоскости ASD
, следовательно, эти плоскости перпендикулярны (см. задачу 7710).
б) Пусть H
— основание перпендикуляра, опущенного из центра O
квадрата ABCD
на ребро SC
. Прямая BD
перпендикулярна двум пересекающимся прямым AC
и SA
плоскости ASC
, поэтому CD
— перпендикуляр к этой плоскости. Значит, OH\perp BD
. Следовательно, OH
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых BD
и SC
, и расстояние между этими прямыми равно длине отрезка OH
.
Пусть AP
— высота прямоугольного треугольника ASC
. Тогда (см. задачу 1967)
AP=\frac{AC\cdot SA}{SC}=\frac{AB\sqrt{2}\cdot SA}{\sqrt{2AB^{2}+SA^{2}}}=\frac{2\sqrt{2}\cdot2\sqrt{2}}{\sqrt{8+8}}=\frac{8}{4}=2,
а так как OH
— средняя линия треугольника APC
, то
OH=\frac{1}{2}AP=1.