9237. Основание прямой призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— ромб ABCD
с углом 120^{\circ}
при вершине D
, а боковые грани призмы — квадраты.
а) Докажите, что прямые A_{1}C
и BD
перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между этими прямыми, если сторона основания призмы равна 8\sqrt{3}
.
Ответ. 6.
Решение. а) Поскольку AA_{1}
— перпендикуляр к плоскости ABCD
, диагональ AC
ромба — ортогональная проекция наклонной A_{1}C
на плоскость основания, а так как диагонали ромба перпендикулярны, то по теореме о трёх перпендикулярах A_{1}C\perp BD
.
б) Пусть H
— основание перпендикуляра, опущенного из центра O
ромба ABCD
на диагональ A_{1}C
призмы. Прямая BD
перпендикулярна двум пересекающимся прямым AC
и AA_{1}
плоскости AA_{1}C_{1}C
, поэтому прямая BD
перпендикулярна этой плоскости. Значит, OH\perp BD
. Следовательно, OH
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых A_{1}C
и BD
, и расстояние между этими прямыми равно длине отрезка OH
.
Треугольник ABD
равносторонний, поэтому
AC=2AO=2\cdot\frac{AB\sqrt{3}}{2}=AB\sqrt{3}=8\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=24.
По теореме Пифагора
A_{1}C^{2}=\sqrt{AC_{2}^{2}+AA_{1}^{2}}=\sqrt{24^{2}+8^{2}\cdot3}=8\sqrt{9+3}=16\sqrt{3}.
Пусть AP
— высота прямоугольного треугольника APC
. Тогда (см. задачу 1967)
AP=\frac{AC\cdot AA_{1}}{A_{1}C}=\frac{24\cdot8\sqrt{3}}{16\sqrt{3}}=12,
а так как OH
— средняя линия треугольника APC
, то
OH=\frac{1}{2}AP=6.