9242. Основание треугольной пирамиды ABCD
— прямоугольный треугольник ABC
(\angle C=90^{\circ}
). Высота пирамиды проходит через точку C
.
а) Докажите, что противоположные рёбра пирамиды попарно перпендикулярны.
б) Найдите углы боковых рёбер DA
и DB
с плоскостью основания, если AC=15
, BC=20
, а угол между плоскостями ABC
и ABD
равен 45^{\circ}
.
Ответ. \arctg\frac{4}{5}
, \arctg\frac{3}{5}
.
Решение. а) Прямая DC
перпендикулярна плоскости ABC
, следовательно, DC\perp AB
.
Поскольку DC
— перпендикуляр к плоскости ABC
, отрезок CA
— ортогональная проекция наклонной DA
на эту плоскость, а так как CA\perp BC
, то по теореме о трёх перпендикулярах DA\perp BC
. Аналогично DB\perp AC
.
б) Пусть CH
— высота треугольника ABC
. По теореме Пифагора
AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{15^{2}+20^{2}}=25,
тогда
CH=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{15\cdot20}{25}=12
(см. задачу 1967).
По теореме о трёх перпендикулярах DH\perp AB
, значит, CHD
— линейный угол двугранного угла при ребре AB
пирамиды. По условию \angle CHD=45^{\circ}
, поэтому DC=CH=12
.
Поскольку CA
и CB
— ортогональные проекции наклонных соответственно DA
и DB
на плоскость основания, CAD
и CBD
— углы рёбер DA
и DB
с этой плоскостью. Из прямоугольных треугольников ACD
и ABD
находим, что
\tg\angle CAD=\frac{DC}{CA}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5},~\tg\angle CBD=\frac{DC}{CB}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}.