9259. Дана правильная треугольная пирамида SABC
, ребро основания которой равно 1. Из вершин A
и B
основания ABC
проведены медианы боковых граней, не имеющие общих точек. Известно, что на прямых, содержащих медианы, лежат рёбра некоторого куба. Найдите длину бокового ребра пирамиды.
Ответ. \frac{\sqrt{6}}{2}
.
Решение. Пусть AD
и BE
— медианы боковых граней ASB
и BSC
соответственно. Рёбра куба лежат на скрещивающихся прямых AD
и BE
, а скрещивающиеся рёбра куба перпендикулярны, значит, и прямые AD
и BE
перпендикулярны.
На продолжении ребра BC
за точку B
отложим отрезок BF=\frac{1}{2}BC=DE=\frac{1}{2}
. Тогда BEDF
— параллелограмм, поэтому DF\parallel BE
. Значит, угол между скрещивающимися прямыми AD
и BE
равен углу между пересекающимися прямыми AD
и DF
, т. е. \angle ADF=90^{\circ}
.
Пусть боковое ребро пирамиды равно b
. По формуле для медианы треугольника (см. задачу 4015)
AD=BE=\frac{1}{2}\sqrt{2SB^{2}+2BC^{2}-SC^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2b^{2}+2-b^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{b^{2}+2}.
По теореме косинусов
AF=\sqrt{AB^{2}+BF^{2}-2AB\cdot BF\cos120^{\circ}}=\sqrt{1+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{7}}{2}.
Треугольник ADF
прямоугольный и равнобедренный, поэтому AF=AD\sqrt{2}
, или
\frac{\sqrt{7}}{2}=\sqrt{2}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{b^{2}+2},
откуда находим, что b=\frac{\sqrt{6}}{2}
.