9262. Докажите, что в любом тетраэдре имеется такая вершина, что из отрезков, равных выходящим из этой вершины рёбрам, можно построить треугольник.
Решение. Первый способ. Пусть BC
— ребро тетраэдра ABCD
, которое не меньше остальных. Применив неравенство треугольника к треугольникам ABC
и BCD
, получим, что
BC\lt AB+AC,~BC\lt BD+CD.
Тогда
2BC\lt AB+AC+BD+CD.
Предположим, что из отрезков, равных BC
, BD
и AB
, нельзя построить треугольник. Тогда BC\geqslant BD+AB
. Из полученного ранее неравенства следует, что BC\lt AC+CD
. Значит, из отрезков, равных BC
, AC
и CD
можно построить треугольник.
Второй способ. Пусть наибольшее ребро AD
тетраэдра ABCD
равно a
, рёбра AB
и AC
равны b
и c
соответственно, а рёбра DB
и DC
— e
и f
соответственно. Тогда по неравенству треугольника
b+f=AB+BD\gt AD=a,~c+e=AC+CD\gt AD=a,
значит,
(b+c-a)+(e+f-a)=(b+f-a)+(c+e-a)\gt0.
Тогда либо b+c-a\gt0
, либо e+f-a\gt0
. Следовательно, либо из отрезков, равных b
, c
и a
, либо e
, f
и a
можно построить треугольник.