9268. Вокруг плоского четырёхугольника ABCD
со сторонами AB=10
, BC=12
, CD=16
, AD=10\sqrt{3}
можно описать окружность. Найдите косинус угла между прямыми SA
и BC
. При необходимости округлите это число до двух знаков после запятой.
Ответ. 0,92.
Решение. Обозначим AB=a
, BC=b
, CD=c
, AD=d
, AC=x
, SA=a'
, SB=b'
, SC=c'
, \angle ABC=\varphi
. По теореме косинусов
x^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\varphi=c^{2}+d^{2}-2cd\cos(180^{\circ}-\varphi),
откуда
\cos\varphi=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}{2(ab+cd)}.
Следовательно,
x^{2}=\frac{cd(a^{2}+b^{2})+ab(c^{2}+d^{2})}{ab+cd}.
В нашем случае
x^{2}=\frac{4(417+244\sqrt{3})}{3+4\sqrt{3}}=96\sqrt{3}+172.
Тогда
\angle ABC=\arccos\frac{3-4\sqrt{3}}{10},~\angle SBA=\arccos\frac{19}{35},~\angle ABC=\arccos\frac{57}{112}.
Поскольку \angle ABC\ne\angle SBA+\angle SBC
, точка S
не лежит в плоскости ABCD
. Значит, SABC
— пирамида, в которой известны все рёбра. Искомый угол между скрещивающимися рёбрами тетраэдра находится по формуле (см. задачу 9267)
\cos\delta=\frac{b'^{2}+x^{2}-a^{2}-c'^{2}}{2a'b}=\frac{161+76\sqrt{3}}{32(3+4\sqrt{3})}=\frac{33+32\sqrt{3}}{96}.