9284. Ребро правильного тетраэдра ABCD
равно 5\sqrt{6}
. Найдите расстояние от середины ребра BC
до плоскости ADB
.
Ответ. 5
.
Решение. Пусть CH
— высота тетраэдра, M
— середина ребра BC
. Тогда (см. задачу 7040)
CH=AB\sqrt{\frac{2}{3}}=5\sqrt{6}\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}=10.
Пусть K
— середина BH
. Тогда MK\parallel CH
как средняя линия треугольника BCH
, а так как CH
— перпендикуляр к плоскости ADB
, то MK
— также перпендикуляр к этой плоскости. Следовательно, расстояние от точки M
до плоскости ADB
равно длине отрезка MK
, т. е.
MK=\frac{1}{2}CH=\frac{1}{2}\cdot10=5.