9299. Точки M
и N
лежат на рёбрах соответственно AB
и A_{1}B_{1}
параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, причём AM:MB=B_{1}N:NA_{1}=2:1
. Точка K
— середина ребра CC_{1}
.
а) Постройте точку пересечения плоскости KMN
с прямой B_{1}C_{1}
.
б) Найдите угол между прямой BB_{1}
и плоскостью KMN
, если параллелепипед прямоугольный, AB=3
, BC=2
, AA_{1}=4
.
Ответ. \arcctg5
.
Решение. а) Пусть L
— точка пересечения прямых MN
и BB_{1}
. Точки L
и K
лежат в плоскости BB_{1}C_{1}C
, значит, в этой плоскости лежит прямая LK
, лежащая также в плоскости KMN
. Прямые LK
и B_{1}C_{1}
, лежащие в плоскости BB_{1}C_{1}C
, пересекаются в некоторой точке X
. Тогда X
— искомая точка пересечения плоскости KMN
с прямой B_{1}C_{1}
.
б) Пусть P
— точка пересечения прямых LK
и BC
, BQ
— высота прямоугольного треугольника BMP
, BH
— высота прямоугольного треугольника BLQ
. По теореме о трёх перпендикулярах LQ\perp MP
, значит, прямая MP
перпендикулярна плоскости BLQ
, а BH
— перпендикуляр к плоскости MLP
, т. е. к плоскости KMN
. Следовательно, угол между прямой BB_{1}
с плоскостью KMN
— это угол BLQ
Поскольку B_{1}N=\frac{2}{3}A_{1}B_{1}=2
и MB=\frac{1}{3}AB=1
, отрезок BM
— средняя линия треугольника LB_{1}N
, значит, BL=BB_{1}=4
. Тогда BP:PC=BL:CK=4:2=2
, значит, BP=\frac{2}{3}BC=\frac{4}{3}
. Из прямоугольного треугольника BMP
находим, что
MP=\sqrt{BM^{2}+BP^{2}}=\sqrt{1+\frac{16}{9}}=\frac{5}{3},~BQ=\frac{BM\cdot BP}{MP}=\frac{1\cdot\frac{4}{3}}{\frac{5}{3}}=\frac{4}{5}.
Следовательно,
\ctg\angle BLQ=\frac{BL}{BQ}=\frac{4}{\frac{4}{5}}=5.