9300. Основание пирамиды SABCD
— четырёхугольник ABCD
. Точки M
, N
и K
— середины рёбер SC
, AB
и BC
соответственно.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью MNK
.
б) Найдите угол между плоскостями MNK
и ABCD
, если пирамида правильная, а её высота вдвое больше диагонали основания.
Ответ. \arctg4
.
Решение. а) Отрезок NK
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому NK\parallel AC
. Секущая плоскость и плоскость ASC
проходят через параллельные прямые NK
и AC
соответственно, значит, они пересекаются по прямой, параллельной NK
и AC
(см. задачу 8004), т. е. по прямой ML
, где L
— середина ребра SA
. Поскольку LM=\frac{1}{2}AC=NK
и LM\parallel NK
, сечение пирамиды SABCD
плоскостью MNK
— параллелограмм NKML
.
б) Пусть O
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
основания ABCD
. Поскольку пирамида правильная, O
— центр квадрата ABCD
, а SO
— высота пирамиды. Обозначим AC=a
. Тогда SO=2a
.
Пусть P
— точка пересечения средней линии ML
треугольника ASC
с высотой SO
пирамиды. Тогда P
— середина LM
и OP=\frac{1}{2}SO=a
.
Пусть Q
— точка пересечения средней линии KN
треугольника ABC
с диагональю BD
основания. Тогда Q
— середина OB
и
OQ=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{4}BD=\frac{1}{4}AC=\frac{a}{4}.
Ортогональная проекция OQ
наклонной PQ
к плоскости ABCD
перпендикулярна прямой MK
, лежащей в этой плоскости, значит, по теореме о трёх перпендикулярах PQ\perp KN
, а OQP
— линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями MNK
и ABCD
. Из прямоугольного треугольника OQP
находим, что
\tg\angle OQP=\frac{OP}{OQ}=\frac{a}{\frac{a}{4}}=4.
Следовательно, \angle OQP=\arctg4
.