9302. Основания шестиугольной призмы ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
— правильные шестиугольники. Точки K
, L
и M
— середины рёбер EF
, CD
и BB_{1}
.
а) Докажите, что плоскость KLM
делит ребро FF_{1}
в отношении 1:5
, считая от точки F
.
б) Найдите расстояние от центра основания A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
до плоскости KLM
, если призма правильная, AB=1
и AA_{1}=2\sqrt{3}
.
Ответ. \sqrt{3}
.
Решение. а) Пусть прямые KL
и BC
пересекаются в точке N
, а прямые MN
и CC_{1}
— в точке P
. Тогда P
— точка пересечения плоскости KLM
с ребром BB_{1}
. Положим BC=2a
, CP=b
. Треугольник CLN
равносторонний, поэтому
CN=CL=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}BC=a.
Треугольник BMN
подобен треугольнику CPN
с коэффициентом \frac{BN}{CN}=\frac{3a}{a}=3
, поэтому BM=3CP=3b
, а так как M
— середина ребра BB_{1}
, то BB_{1}=2BM=6b
.
Плоскости BB_{1}C_{1}C
и EE_{1}F_{1}F
параллельны, значит, плоскость KLM
пересекает их по параллельным прямым: если R
— точка пересечения плоскости KLM
с ребром FF_{1}
, то KR\parallel PM
.
Через середину Q
ребра BC
проведём прямую, параллельную PM
. Пусть эта прямая пересекает ребро BB_{1}
в точке S
. Тогда
\frac{BS}{BM}=\frac{BQ}{BN}=\frac{a}{3a}=\frac{1}{3},
значит,
BS=\frac{1}{3}BM=b,~\frac{BS}{BB_{1}}=\frac{1}{6}.
Треугольники FKR
и BCS
равны по стороне (KF=QB=a
) и двум прилежащим к ней углам, следовательно,
\frac{FR}{FF_{1}}=\frac{BS}{SB_{1}}=\frac{1}{6},~\frac{FR}{RF_{1}}=\frac{1}{5}.
б) Плоскость KLM
проходит через прямую KL
, параллельную плоскости AA_{1}B_{1}B
, значит, эти плоскости пересекаются по прямой MZ
, параллельной AB
(Z
— середина AA_{1}
). Пусть O
— центр основания ABCDEF
. Через прямую OO_{1}
проведём плоскость, перпендикулярную ребру AB
. Эта плоскость пересекает ребра AB
, A_{1}B_{1}
, E_{1}D_{1}
и DE
в их серединах X
, X_{1}
, Y_{1}
и Y
, а отрезки MZ
и KL
— в их серединах G
и T
.
Пусть U
— точка пересечения OO_{1}
и GT
. Тогда U
— середина отрезка RT
, параллельного CF
, и
\frac{OU}{UO_{1}}=\frac{CP}{PC_{1}}=\frac{b}{5b}=\frac{1}{5}.
Перпендикуляры O_{1}H_{1}
и OH
, опущенные на прямую GT
, — перпендикуляры к плоскости KLM
, при этом, из подобия прямоугольных треугольников O_{1}H_{1}U
и OHU
следует, что O_{1}H_{1}=5OH
. Таким образом, расстояние от точки O_{1}
до плоскости KLM
в пять раз больше расстояния от точки O
до этой плоскости (см. задачу 9180).
Поскольку пирамида правильная, треугольник TOU
прямоугольный, а OH
— его высота, проведённая из вершины прямого угла. Далее получаем, что
OT=\frac{1}{2}OY=\frac{1}{2}\cdot\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4},~OU=\frac{1}{6}OO_{1}=\frac{1}{6}AA_{1}=\frac{\sqrt{3}}{3},
HT=\sqrt{OT^{2}+OU^{2}}=\sqrt{\frac{3}{16}+\frac{1}{3}}=\frac{5}{4\sqrt{3}},
OH=\frac{OT\cdot OU}{HT}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{5}{4\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{5}.
Следовательно, O_{1}H_{1}=5OH=\sqrt{3}
.