9322. Грань ABCD
прямоугольного параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— квадрат. Точка M
лежит на ребре BC
, причём CM:MB=1:2
. Известно, что диагональ DB_{1}
параллелепипеда перпендикулярна отрезку C_{1}M
.
а) Докажите, что угол прямой CB_{1}
с плоскостью A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равен 30^{\circ}
.
б) Найдите объём параллелепипеда, если расстояние между прямыми DB_{1}
и C_{1}M
равно \sqrt{\frac{3}{7}}
.
Ответ. \frac{8}{9}
.
Решение. а) Отрезок DC
— перпендикуляр к плоскости BB_{1}C_{1}C
, CB_{1}
— ортогональная проекция наклонной DB_{1}
на эту плоскость, а наклонная DB_{1}
перпендикулярна прямой C_{1}M
, лежащей в этой плоскости. По теореме о трёх перпендикулярах CB_{1}\perp C_{1}M
.
Обозначим BC=CD=a
. Тогда CM=\frac{1}{3}BC=\frac{a}{3}
. Пусть K
— точка пересечения отрезков CB_{1}
и C_{1}M
. Поскольку \angle CKC_{1}=90^{\circ}
, острые углы CC_{1}M
и C_{1}B_{1}C
прямоугольных треугольников CC_{1}M
и C_{1}B_{1}C
равны. Значит, эти треугольники подобны. Тогда \frac{MC}{CC_{1}}=\frac{CC_{1}}{B_{1}C_{1}}
, откуда находим, что
CC_{1}^{2}=MC\cdot B_{1}C_{1}=\frac{a}{3}\cdot a=\frac{a^{2}}{3},~CC_{1}=\frac{a}{\sqrt{3}}.
Угол прямой CB_{1}
с плоскостью A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— это угол CB_{1}C_{1}
. Из прямоугольного треугольника CB_{1}C_{1}
находим, что
\tg\angle CB_{1}C_{1}=\frac{CC_{1}}{B_{1}C_{1}}=\frac{\frac{a}{\sqrt{3}}}{a}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Следовательно, \angle CB_{1}C_{1}=30^{\circ}
.
б) Опустим перпендикуляр KH
из точки K
на прямую DB_{1}
. Прямая C_{1}M
перпендикулярна плоскости CB_{1}D_{1}
, содержащей этот перпендикуляр, поэтому KH\perp C_{1}M
. Значит, KH
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых DB_{1}
и C_{1}M
, а расстояние между эти прямыми равно длине отрезка KH
.
Из подобия треугольников B_{1}KC_{1}
и CKM
следует, что \frac{B_{1}K}{CK}=\frac{B_{1}C_{1}}{CM}=3
, значит, если CP
— высота прямоугольного треугольника CB_{1}D
, то
CP=\frac{4}{3}KH=\frac{4}{3}\sqrt{\frac{3}{7}}.
Из прямоугольных треугольников CC_{1}B
и CB_{1}D
находим, что
CB_{1}=2CC_{1}=\frac{2a}{\sqrt{3}},~DB_{1}=\sqrt{CB_{1}^{2}+CD^{2}}=\sqrt{\frac{4}{3}a^{2}+a^{2}}=a\sqrt{\frac{7}{3}},
а так как CD\cdot CB_{1}=DB_{1}\cdot CP
(см. задачу 1967), то a\cdot\frac{2a}{\sqrt{3}}=a\sqrt{\frac{7}{3}}\cdot\frac{4}{3}\sqrt{\frac{3}{7}}
, откуда a=\frac{2}{\sqrt{3}}
. Следовательно,
V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=BC\cdot CD\cdot CC_{1}=\frac{a^{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\frac{8}{3\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}=\frac{8}{9}.