9324. На диагонали BD_{1}
параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
отмечена точка M
, причём BM:MD_{1}=1:3
. Через точку M
проведена плоскость \alpha
, параллельная прямым AB_{1}
и CB_{1}
.
а) Докажите, что плоскость \alpha
делит ребро AB
в отношении 1:3
, считая от вершины A
.
б) В каком отношении плоскость \alpha
делит объём параллелепипеда?
Ответ. 9:119
.
Решение. а) Пусть O
— точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD
, а плоскость \alpha
пересекает рёбра AB
, BC
и BB_{1}
параллелепипеда, в точках L
, N
и K
соответственно. По признаку параллельности плоскостей (см. задачу 8008) плоскости LNK
и AB_{1}C
параллельны, значит, KL\parallel AB_{1}
, KN\parallel CB_{1}
, LN\parallel AC
, KM\parallel B_{1}O
(см. задачу 8009).
Пусть плоскость AB_{1}C
пересекает диагональ BD_{1}
в точке E
, а прямая KM
пересекает плоскость ABCD
в точке P
. Тогда BE=\frac{1}{3}BD_{1}
(см. задачу 7212), а точка P
лежит на BD
. По теореме о пропорциональных отрезках
\frac{AL}{LB}=\frac{OP}{PB}=\frac{EM}{BM}=\frac{BE-BM}{BM}=\frac{\frac{1}{3}BD_{1}-\frac{1}{4}BD_{1}}{\frac{1}{4}BD_{1}}=\frac{1}{3}.
б) Пусть объём параллелепипеда равен V
. Треугольная пирамида BLNK
подобна пирамиде BACB_{1}
с коэффициентом \frac{BM}{BE}=\frac{3}{4}
, а так как V_{BACB_{1}}=\frac{1}{6}V
(см. задачу 8462), то
V_{BLNK}=\left(\frac{3}{4}\right)^{3}V_{BACB_{1}}=\frac{27}{64}\cdot\frac{1}{6}V=\frac{9}{128}V.
Тогда объём оставшейся части параллелепипеда равен \frac{119}{128}V
. Следовательно, искомое отношение равно \frac{9}{119}
.