9327. Основание четырёхугольной пирамиды SABCD
— параллелограмм ABCD
. Через середину ребра SC
и точку A
проведена плоскость \alpha
, параллельная диагонали BD
основания. Пусть P
— точка пересечения этой плоскости с прямой CD
.
а) Докажите, что D
— середина отрезка CP
.
б) Найдите объём большей из частей, на которые эта плоскость разбивает пирамиду, если объём пирамиды равен V
.
Ответ. \frac{2}{3}V
.
Решение. а) Плоскость ABCD
проходит через прямую BD
, параллельную плоскости \alpha
, и имеет с ней общую точку A
, значит, прямая пересечения этих плоскостей параллельна BD
(см. задачу 8003). Эта прямая пересекается с прямой CD
в точке, лежащей в плоскости \alpha
, т. е. в точке P
. Поскольку ABDP
— параллелограмм, PD=AB=CD
. Следовательно, D
— середина отрезка CP
.
б) Пусть O
— центр параллелограмма ABCD
, N
— точка пересечения прямых AM
и SO
, лежащих в плоскости ASC
. Плоскость BSD
проходит через прямую BD
, параллельную плоскости \alpha
, и имеет с плоскостью \alpha
общую точку N
. Значит, прямая l
пересечения этих плоскостей, параллельна BD
.
Пусть K
и L
— точки пересечения прямой l
с рёбрами SA
и SB
соответственно. Тогда сечение пирамиды плоскостью \alpha
— четырёхугольник AKML
. Отрезки AM
и SC
— медианы треугольника ASC
, поэтому SN:NO=2:1
, а так как KL\parallel BD
, то SL:LB=SK:KD=SN:NO=2:1
.
Пусть площадь основания пирамиды SABCD
равна s
, высота пирамиды равна h
, объём равен V
, а прямая AP
пересекается с прямой BC
в точке Q
. Тогда
S_{\triangle ABQ}=S_{\triangle DPA}=\frac{s}{2},~S_{\triangle PCQ}=2s,
а так как M
— середина бокового ребра SC
, точки L
и K
делят боковые рёбра в отношении SL:LB=SK:KD=2:1
, то высота треугольной пирамиды MPCQ
, проведённая из вершины M
, равна \frac{h}{2}
, а высоты треугольных пирамид KADP
и LABQ
, проведённые из вершин K
и L
соответственно, равны \frac{h}{3}
. Следовательно,
V_{MPCQ}-V_{KADP}-V_{LABQ}=V_{MPCQ}-2V_{KADP}=
=\frac{1}{3}S_{\triangle PCQ}\cdot\frac{h}{2}-2\cdot\frac{1}{3}S_{ABQ}\cdot\frac{h}{3}=
=\frac{1}{3}\cdot2s\cdot\frac{h}{2}-\frac{2}{3}\cdot\frac{s}{2}\cdot\frac{h}{3}=
=\left(1-\frac{1}{3}\right)\cdot\frac{1}{3}sh=\frac{2}{3}V.
При этом \frac{2}{3}V
— большая часть объёма исходной пирамиды.