9335. Точки M
и N
— середины рёбер соответственно BC_{1}
и AA_{1}
треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
с основаниями ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
.
а) Докажите, что плоскость B_{1}KM
делит ребро AC
в отношении 1:2
, считая от точки A
.
б) В каком отношении плоскость B_{1}KM
делит объём призмы?
Ответ. 5:13
.
Решение. а) Пусть K
— точка пересечения прямых B_{1}N
и AB
, лежащих в плоскости AA_{1}B_{1}B
, а P
— точка пересечения прямых KM
и AC
, лежащих в плоскости ABC
. Из равенства треугольников ANK
и A_{1}NB_{1}
следует, что A
— середина отрезка BK
. Тогда P
— точка пересечения медиан CA
и KM
треугольника KBC
. Следовательно, AP:PC=1:2
.
б) Пусть s
— площадь боковой грани BB_{1}C_{1}C
, h
— расстояние от прямой AA_{1}
до плоскости BB_{1}C_{1}C
, V
— объём призмы. Тогда V=\frac{1}{2}sh
(см. задачу 7237). Площадь основания BMB_{1}
треугольной пирамиды K_{1}BMB_{1}
равна \frac{1}{4}s
. Точка A
— середина отрезка BK
, значит, расстояние от точки K
до плоскости BB_{1}C_{1}C
вдвое больше расстояния до этой плоскости от точки A
(см. задачу 9180), т. е. равно 2h
. Следовательно, высота пирамиды KBMB_{1}
, проведённая из вершины K
, равна 2h
, и
V_{KBMB_{1}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}s\cdot2h=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}sh=\frac{1}{3}V,
V_{KAPN}=\frac{KA}{KB}\cdot\frac{KN}{KB_{1}}\cdot\frac{KP}{KV}\cdot V_{KBMB_{1}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}V=\frac{1}{18}V
(см. задачу 7244).
Пусть V_{1}
— объём части призмы, содержащей вершину A
. Тогда
V_{1}=V_{KBMB_{1}}-V_{KAPN}=\frac{1}{3}V-\frac{1}{18}V=\frac{5}{18}V,~V-\frac{5}{18}V=\frac{13}{18}V.
Следовательно, искомое отношение равно \frac{5}{13}
.