9348. Плоскость \alpha
проходит через диаметр AB
сферы. Через точку B
проведена плоскость, касательная к сфере. На этой плоскости взята точка K
, причём отрезок KB
равен радиусу сферы. Луч AK
пересекает сферу в точке M
. Через точку M
проведена плоскость \beta
, перпендикулярная прямой AB
. Отрезок CD
— общая хорда окружностей сечений сферы плоскостями \alpha
и \beta
.
а) Докажите, что CD
— диаметр окружности сечения сферы плоскостью \beta
.
б) Вершина конуса совпадает с точкой B
, а окружность основания — с окружностью сечения сферы плоскостью \beta
. Найдите объём конуса, если радиус сферы равен 5.
Ответ. \frac{32\pi}{3}
.
Решение. а) Пусть O_{1}
— точка пересечения диаметра AB
сферы с плоскостью \beta
. Поскольку O_{1}A\perp\alpha
, точка O_{1}
— центр окружности пересечения сферы с плоскостью \beta
. Точка O_{1}
лежит в обеих плоскостях \alpha
и \beta
, значит, она принадлежит прямой CD
пересечения этих плоскостей. Следовательно, CD
— диаметр окружности пересечения сферы с плоскостью \beta
.
б) Точка M
лежит на сфере с диаметром AB
, значит, \angle AMB=90^{\circ}
. Точка K
лежит в касательной плоскости к сфере, поэтому \angle ABK=90^{\circ}
. Тогда
AK=\sqrt{AB^{2}+BK^{2}}=\sqrt{100+25}=5\sqrt{5}.
В прямоугольном треугольнике ABK
отрезок BM
— высота, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
MK=\frac{BK^{2}}{AK}=\frac{25}{5\sqrt{5}}=\sqrt{5}.
Значит,
\frac{BO_{1}}{O_{1}A}=\frac{MK}{MA}=\sqrt{5}:4\sqrt{5}=1:4,~BO_{1}=\frac{1}{5}AB=2,~O_{1}M=\frac{4}{5}BK=4.
Отрезки BO_{1}
и O_{1}M
— соответственно высота и радиус основания конуса, о котором говорится в условии задачи, следовательно, объём этого конуса равен
\frac{1}{3}\pi O_{1}M^{2}\cdot BO_{1}=\frac{1}{3}\pi\cdot16\cdot2=\frac{32\pi}{3}.