9354. Две правильные пирамиды DABC
и FABC
имеют общее основание ABC
и расположены по разные стороны от него. Все плоские углы при вершинах D
и F
прямые. Боковое ребро каждой пирамиды равно 1. Найдите угол между прямыми AD
и BF
.
Ответ. \arccos\frac{2}{3}
.
Решение. Первый способ. Из равнобедренного прямоугольного треугольника ADC
находим, что AB=\sqrt{2}
. Пусть O
— центр равностороннего треугольника ABC
, M
и N
— середины рёбер AB
и DB
соответственно. Тогда MN
и NO
— средние линии треугольников ABD
и BDF
, поэтому MN\parallel AD
и NO\parallel FB
. Значит, угол между скрещивающимися прямыми AD
и FB
равен углу между пересекающимися прямыми MN
и NO
, т. е. углу MNO
при вершине равнобедренного треугольника MNO
со сторонами
NO=MN=\frac{1}{2},~MO=\frac{1}{3}CM=\frac{1}{3}\cdot\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{AB\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{\sqrt{6}}.
По теореме косинусов
\cos\angle MNO=\frac{MN^{2}+NO^{2}-MO^{2}}{2MN\cdot NO}=\frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}}{2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}.
Следовательно, искомый угол равен \arccos\frac{2}{3}
.
Второй способ. Пусть O
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, \overrightarrow{DA}=\overrightarrow{a}
, \overrightarrow{DB}=\overrightarrow{b}
, \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{c}
. Тогда (см. задачу 4505)
\overrightarrow{DO}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}),
\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{BD}+2\overrightarrow{DO}=-\overrightarrow{b}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}+\frac{2}{3}\overrightarrow{c}.
Пусть угол между векторами \overrightarrow{DA}
и \overrightarrow{BF}
равен \varphi
. Тогда
\cos\varphi=\frac{\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{BF}}{|\overrightarrow{DA}|\cdot|\overrightarrow{BF}|}=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}+\frac{2}{3}\overrightarrow{c}\right)}{|\overrightarrow{a}|\cdot\left|\frac{2}{3}\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}+\frac{2}{3}\overrightarrow{c}\right|}=
=\frac{\frac{2}{3}\overrightarrow{a}^{2}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|\cdot\sqrt{\frac{4}{9}\overrightarrow{a}^{2}+\frac{1}{9}\overrightarrow{b}^{2}+\frac{4}{9}\overrightarrow{c}^{2}}}=\frac{\frac{2}{3}+0+0}{1\cdot\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{1}{9}+\frac{4}{9}}}=\frac{2}{3}.
Следовательно, искомый угол равен \arccos\frac{2}{3}
.