9358. Две правильные шестиугольные пирамиды SABCDEF
и TABCDEF
имеют общее основание ABCDEF
и расположены по разные стороны от него. Боковые рёбра пирамид вдвое больше стороны основания. Найдите угол между прямыми:
а) SA
и TC
; б) SA
и TB
.
Ответ. а) \arccos\frac{7}{8}
; б) \arccos\frac{5}{8}
.
Решение. а) Пусть O
— центр общего основания ABCDEF
пирамид. Диагонали четырёхугольника SCTF
пересекаются в точке O
и делятся ею пополам, значит, это параллелограмм (даже ромб). Тогда SF\parallel TC
, и угол между скрещивающимися прямыми SA
и TC
равен углу между пересекающимися прямыми SA
и SF
, т. е. углу ASF
при вершине равнобедренного треугольника ASF
со сторонами AF=a
, SA=SF=2a
. По теореме косинусов
\cos\angle ASF=\frac{SA^{2}+SF^{2}-AF^{2}}{2SA\cdot SF}=\frac{4a^{2}+4a^{2}-a^{2}}{2\cdot2a\cdot2a}=\frac{7}{8}.
Следовательно, искомый угол равен \arccos\frac{7}{8}
.
б) Пусть M
и N
— середины рёбер AB
и SB
соответственно. Тогда MN
и ON
— средние линии треугольников ASB
и BST
, поэтому MN\parallel SA
и ON\parallel TB
. Значит, угол между скрещивающимися прямыми SA
и TB
равен углу между пересекающимися прямыми MN
и ON
, т. е. углу MNO
при вершине равнобедренного треугольника MNO
со сторонами
MN=ON=\frac{1}{2}TB=a,~OM=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.
По теореме косинусов
\cos\angle MNO=\frac{MN^{2}+ON^{2}-OM^{2}}{2MN\cdot ON}=\frac{a^{2}+a^{2}-\frac{3a^{2}}{4}}{2\cdot a\cdot a}=\frac{5}{8}.
Следовательно, искомый угол равен \arccos\frac{5}{8}
.